Resolva a edo, pelo método da variação dos paramêtros(observação: podem deixar as integrais indicadas):
ddotx+beta dotx-alpha x=sec (t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação dos parâmetros, a equação
ddotx + beta,dotx - alpha,x = sec(t)
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
ddotx + beta,dotx - alpha,x = 0
A equação característica é
r^2 + beta,r - alpha = 0,
cuja raízes são
r1,2 = -beta pm raizbeta^2 + 4alpha2
Logo uma base de soluções da homogênea é
y1(t) = e^r1 t, y2(t) = e^r2 t

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = e^r1 t,(r2 e^r2 t) ;-;(r1 e^r1 t),e^r2 t = (r2 - r1),e^(r1 + r2)t
Como r1 + r2 = -beta, temos
W(t) = (r2 - r1),e^-beta t

Passo 4

Pela variação de parâmetros buscamos
xp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
com as condições usuais
u1',y1 + u2',y2 = 0, u1',y1' + u2',y2' = sec(t)
Dessa forma obtém-se
u1'(t) = -y2(t),sec(t)W(t), u2'(t) = y1(t),sec(t)W(t)
Substituindo y1,y2,W:
u1'(t) = -e^r2 t,sec(t)(r2 - r1),e^-beta t = -1r2 - r1,e^(r2 + beta)t,sec(t) = -1r2 - r1,e^-,r1 t,sec(t),
u2'(t) = e^r1 t,sec(t)(r2 - r1),e^-beta t = 1r2 - r1,e^-,r2 t,sec(t)

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = -1r2 - r1,integral e^-,r1 t,sec(t),dt, u2(t) = 1r2 - r1,integral e^-,r2 t,sec(t),dt
Então a solução particular é
xp(t) = u1(t),e^r1 t + u2(t),e^r2 t = -e^r1 tr2 - r1integral e^-,r1 tsec(t),dt +e^r2 tr2 - r1integral e^-,r2 tsec(t),dt

Passo 6

A solução geral da EDO completa é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = C1,e^r1 t + C2,e^r2 t -e^r1 tr2 - r1integral e^-,r1 tsec(t),dt +e^r2 tr2 - r1integral e^-,r2 tsec(t),dt

Resposta

boxed x(t) = C1,e^r1 t + C2,e^r2 t -e^r1 tr2 - r1integral e^-,r1 t,sec(t),dt +e^r2 tr2 - r1integral e^-,r2 t,sec(t),dt,
onde
r1,2 = -beta pm raizbeta^2 + 4alpha2

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