Então, o exercício pede pra gente ver se os vetores e são linearmente independentes ou dependentes. Isso é álgebra linear, mais precisamente combinação linear e independência. Pra resolver, precisamos entender a definição: ver se só dá pra chegar no vetor zero usando todos os coeficientes zero. Beleza?
Passo 2
Uma combinação linear de vetores é uma soma ponderada, tipo , onde e são escalares. Dizemos que e são linearmente independentes se a única forma de
é com e . Se existir um ou que também funcione, aí são dependentes. Saca?
Passo 3
Então, montamos
Substituindo e , dá
o que gera o sistema
Passo 4
Agora resolve o sistema:
Da primeira equação, 0alpha + 1beta = 0 implies beta = 0.
Da segunda, 1alpha + 0beta = 0 implies alpha = 0.
A terceira só confirma beta = 0 de novo.
Então a única opção é alpha = beta = 0, ou seja, só a combinação trivial.
Resposta
Os vetores vec u e vec v são linearmente independentes.