Verifique se vecu e vecv são LI ou LD:
vecu=(0,1,0), vecv=(1,0,1).

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente ver se os vetores vec u=(0,1,0) e vec v=(1,0,1) são linearmente independentes ou dependentes. Isso é álgebra linear, mais precisamente combinação linear e independência. Pra resolver, precisamos entender a definição: ver se só dá pra chegar no vetor zero usando todos os coeficientes zero. Beleza?

Passo 2

Uma combinação linear de vetores é uma soma ponderada, tipo alphavec u + betavec v, onde alpha e beta são escalares. Dizemos que vec u e vec v são linearmente independentes se a única forma de
alphavec u + betavec v = vec 0
é com alpha=0 e beta=0. Se existir um alphaneq0 ou betaneq0 que também funcione, aí são dependentes. Saca?

Passo 3

Então, montamos
alphavec u + betavec v = (0,0,0)
Substituindo vec u e vec v, dá
alpha(0,1,0) + beta(1,0,1) = (0,0,0),
o que gera o sistema
0,alpha + 1,beta = 0, 1,alpha + 0,beta = 0, 0,alpha + 1,beta = 0

Passo 4

Agora resolve o sistema:
  • Da primeira equação, 0alpha + 1beta = 0 implies beta = 0.
  • Da segunda, 1alpha + 0beta = 0 implies alpha = 0.
  • A terceira só confirma beta = 0 de novo.
    Então a única opção é alpha = beta = 0, ou seja, só a combinação trivial.

Resposta

Os vetores vec u e vec v são linearmente independentes.

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