Mostre que os seguintes limites não existem.
b) lim (x, y) (0,0) 2 xraizx^2+y^2

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite não existe. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para chegar ao ponto (0,0). Vou escolher o caminho onde 2xraizx^2 + 0^2 = 2x|x| . Assim, substituindo por 0 na função, fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite desse caminho. Para 2xx = 2 se aproximando de 0 pela direita ( 2x-x = -2 ):
E se se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Então, dependendo de como se aproxima de 0, o limite pode ser 2 ou -2.

Passo 4

Vamos escolher outro caminho para chegar ao ponto (0,0). Agora, vou escolher o caminho onde 2 cdot 0raiz0^2 + y^2 = 0 . Substituindo por 0 na função, temos:

Passo 5

Comparando os limites pelos dois caminhos diferentes, no primeiro caminho o limite pode ser 2 ou -2, dependendo da direção, e no segundo caminho o limite é 0. Como os limites são diferentes, significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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