Verificar se os seguintes limites existem:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o limite
existe. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como as funções se comportam quando se aproximam de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado como
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Então, vamos substituir
e
na nossa expressão:
Passo 3
Substituindo na função original:
Vamos simplificar cada parte:
Numerador:
Então, o numerador fica:
Denominador:
Passo 4
Agora, a nossa expressão fica:
Vamos analisar o que acontece quando
:
- O termo
tende a , porque vai para . - O termo
também tende a , já que vai para .
Então, somando os dois termos, o limite total tende a
.
Resposta
O limite existe e é igual a
.