Verificar se os seguintes limites existem:
c) lim (x, y) (0,0) x^4+3 x y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o limite
lim(x, y) (0,0) x^4+3 x y^2x^2+y^2
existe. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como as funções se comportam quando se aproximam de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) pode ser representado como (r cos theta, r sin theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.
Então, vamos substituir x e y na nossa expressão:
x = r cos theta y = r sin theta

Passo 3

Substituindo na função original:
x^4 + 3xy^2x^2 + y^2 = (r cos theta)^4 + 3(r cos theta)(r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2
Vamos simplificar cada parte:
Numerador:
(r cos theta)^4 = r^4 cos^4 theta 3(r cos theta)(r sin theta)^2 = 3r cos theta cdot r^2 sin^2 theta = 3r^3 cos theta sin^2 theta
Então, o numerador fica:
r^4 cos^4 theta + 3r^3 cos theta sin^2 theta
Denominador:
(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2

Passo 4

Agora, a nossa expressão fica:
r^4 cos^4 theta + 3r^3 cos theta sin^2 thetar^2 = r^2 cos^4 theta + 3r cos theta sin^2 theta
Vamos analisar o que acontece quando r 0:
  • O termo r^2 cos^4 theta tende a 0, porque r^2 vai para 0.
  • O termo 3r cos theta sin^2 theta também tende a 0, já que r vai para 0.
Então, somando os dois termos, o limite total tende a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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