Mostre - usando as regras §, (T) e (CP) - que
(q ∨ p) → r ⇒ (p ∧ q) → r.

Passo 1

Temos como premissa a fórmula (q lor p) to r. O objetivo é mostrar que dessa premissa decorre (p land q) to r. O assunto aqui é prova em cálculo proposicional usando Prova Condicional (CP), Permutação § e as regras básicas de eliminação de conjunção, introdução de disjunção e modus ponens.

Passo 2

Para aplicar CP, assumimos provisoriamente p land q. A ideia da Prova Condicional é: supondo p land q, derivar r e depois fechar essa suposição para obter (p land q) to r.

Passo 3

Da suposição p land q, aplicamos eliminação de conjunção para obter p. Isso se justifica porque, de uma conjunção, podemos extrair qualquer uma das partes:
p land q ;Rightarrow; p

Passo 4

Com p em mãos, fazemos introdução de disjunção para criar p lor q. A regra de introdução de disjunção diz que, se temos p, então vale p lor qualquer:
p ;Rightarrow; p lor q

Passo 5

Agora precisamos aplicar o modus ponens na premissa original, mas ela está como (q lor p) to r. Usamos Permutação § para trocar a ordem na disjunção do antecedente:

Passo 6

Com (p lor q) to r e p lor q conseguimos, por modus ponens, derivar r:
(p lor q) to r, p lor q ;Rightarrow; r

Passo 7

Encerramos a Prova Condicional, descartando a suposição de p land q e obtendo a implicação desejada:
(p land q) to r

Resposta

(p \land q) \to r

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