Mostre - usando as regras §, (T) e (CP) - que
(q ∨ p) → r ⇒ (p ∧ q) → r.
(q ∨ p) → r ⇒ (p ∧ q) → r.
Passo 1
Temos como premissa a fórmula
. O objetivo é mostrar que dessa premissa decorre
. O assunto aqui é prova em cálculo proposicional usando Prova Condicional (CP), Permutação § e as regras básicas de eliminação de conjunção, introdução de disjunção e modus ponens.
Passo 2
Para aplicar CP, assumimos provisoriamente
. A ideia da Prova Condicional é: supondo
, derivar
e depois fechar essa suposição para obter
.
Passo 3
Da suposição
, aplicamos eliminação de conjunção para obter
. Isso se justifica porque, de uma conjunção, podemos extrair qualquer uma das partes:
Passo 4
Com
em mãos, fazemos introdução de disjunção para criar
. A regra de introdução de disjunção diz que, se temos
, então vale
:
Passo 5
Agora precisamos aplicar o modus ponens na premissa original, mas ela está como
. Usamos Permutação § para trocar a ordem na disjunção do antecedente:
Passo 6
Com
e
conseguimos, por modus ponens, derivar
:
Passo 7
Encerramos a Prova Condicional, descartando a suposição de
e obtendo a implicação desejada:
Resposta
(p \land q) \to r