Mostre que os seguintes subconjuntos de R^2 não são subespaços. Mostre, através de exemplos, que pelo menos um dos axiomas da definição de subespaço vetorial falha para estes subconjuntos.
W=(x, x^2) in R^2 mid x in R (parábola y=x^2 ).

Passo 1

O enunciado define
W = (x,x^2)inR^2mid xinR,
que é a parábola y=x^2, e pede para mostrar que W não é subespaço vetorial de R^2. Para isso precisamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três axiomas principais:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro o vetor zero. Tomando x=0 temos (0,0^2)=(0,0)in W. Logo, o axioma do vetor zero está satisfeito.

Passo 3

Agora testamos a fechamento sob adição. Escolhemos dois vetores em W:
;v1=(1,1) (pois 1^2=1) e ;v2=(2,4) (pois 2^2=4).
A soma é
v1+v2 = (1,1)+(2,4) = (3,5)
Para que (3,5) pertencesse a W precisaríamos ter 5 = 3^2 = 9, o que é falso. Portanto
v1+v2notin W
e o fechamento sob adição falha.

Resposta

W não é subespaço de R^2 porque não é fechado sob adição (por exemplo, (1,1),(2,4)in W mas (1,1)+(2,4)=(3,5)notin W).

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