Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
Passo 1
Então a gente tem a integral imprópria
O conteúdo aqui é tratamento de integral imprópria em intervalo infinito e manipulação de potências fracionárias. Vamos usar a definição de integral imprópria como limite e calcular a antiderivada.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a integral como limite. Definimos
Passo 3
Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
Quando
,
se
. Quando
,
. Além disso,
Então a integral vira
Mudando o nome do limite superior pra
, que vai a
, fica
Passo 4
Agora calculamos a antiderivada de
. Como
para
, temos
Portanto
Passo 5
Agora voltamos ao limite
:
Isso mostra que a integral cresce sem limite, ou seja, diverge.
Resposta
A integral é divergente; não converge a um valor finito.