Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
integral-infty^0 d x(x-8)^23

Passo 1

Então a gente tem a integral imprópria
integral-infty^0 dx(x-8)^2/3
O conteúdo aqui é tratamento de integral imprópria em intervalo infinito e manipulação de potências fracionárias. Vamos usar a definição de integral imprópria como limite e calcular a antiderivada.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a integral como limite. Definimos
integral-infty^0 dx(x-8)^2/3 = limAto -infty integralA^0 dx(x-8)^2/3

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
t = 8 - x, dx = -dt
Quando x = A, t = 8 - Ato +infty se Ato -infty. Quando x=0, t=8. Além disso,
(x-8)^2/3 = l(-(8-x)r)^2/3 = (8-x)^2/3 = t^2/3
Então a integral vira
integralA^0 dx(x-8)^2/3 = integral8 - A^8 -dtt^2/3 = integral8^8 - A dtt^2/3
Mudando o nome do limite superior pra B=8-A, que vai a +infty, fica
integral8^B t^-2/3 ,dt

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada de t^-2/3. Como integral t^m ,dt = t^m+1/(m+1) para mneq -1, temos
integral t^-2/3 ,dt = t^-2/3 +1-2/3 +1 = t^1/31/3 = 3,t^1/3
Portanto
integral8^B t^-2/3 ,dt = 3l(B^1/3 - 8^1/3r) = 3l(B^1/3 - 2r)

Passo 5

Agora voltamos ao limite Bto +infty:
limBtoinfty 3l(B^1/3-2r) = limBtoinfty 3B^1/3 -6 = +infty
Isso mostra que a integral cresce sem limite, ou seja, diverge.

Resposta

A integral é divergente; não converge a um valor finito.

Exercícios relacionados