Supondo que a função diferenciável z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada. Determinar d zd x e d zd y :
x-z=arctg(y z)

Passo 1

O enunciado diz que a superfície z=f(x,y) é definida implicitamente pela equação
x - z = arctg(y,z)
Queremos encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.
O método é a diferenciação implícita usando o Teorema da Função Implícita: se
F(x,y,z)=0,
então
Fx + Fz,partial zpartial x=0 e Fy + Fz,partial zpartial y=0

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x - z - arctg(y,z)
Aplicando diferenciação implícita temos as duas equações:
Fx + Fz,partial zpartial x=0, Fy + Fz,partial zpartial y=0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial xl(x - z - arctg(yz)r) = 1,
Fy = partialpartial yl(x - z - arctg(yz)r) = -11+(yz)^2cdot z = -z1 + y^2z^2,
Fz = partialpartial zl(x - z - arctg(yz)r) = -1 ;-;11+(yz)^2cdot y = -1 ;-;y1 + y^2z^2

Passo 4

Para partial zpartial x usamos
Fx + Fz,partial zpartial x=0 Longrightarrow partial zpartial x =-FxFz =-1-1-y1+y^2z^2 =11+dfracy1+y^2z^2 =1+y^2z^21+y+y^2z^2

Passo 5

Para partial zpartial y usamos
Fy + Fz,partial zpartial y=0 Longrightarrow partial zpartial y =-FyFz =--dfracz1+y^2z^2-1-dfracy1+y^2z^2 =-z/(1+y^2z^2)1+dfracy1+y^2z^2 =-z1+y+y^2z^2

Resposta

boxed partial zpartial x =1+y^2z^21+y+y^2z^2, partial zpartial y =-z1+y+y^2z^2

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