Mostre que a sequência dada é convergente:
(n+1n+2)n in N

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência l(anr)ninN definida por
an = n+1n+2
O conteúdo aqui é limite de sequência real e vamos precisar usar manipulação algébrica para isolar termos que tendem a zero e, se quisermos, a definição varepsilon- N de limite.

Passo 2

Para ver a tendência de an, dividimos numerador e denominador por n:
an = n+1n+2 = nl(1+tfrac1nr)nl(1+tfrac2nr) = 1+tfrac1n1+tfrac2n
Como tfrac1nto 0 e tfrac2nto 0 quando ntoinfty, pelo limite de quociente de sequências,
limntoinftyan = 1+01+0 =1

Passo 3

Para um argumento totalmente rigoroso via definição, calculemos
l|an-1r| = |n+1n+2-1| = |n+1 - (n+2)n+2| = 1n+2
Dado varepsilon>0, basta escolher NinN tal que
1N+2<varepsilon,
por exemplo N>tfrac1varepsilon-2. Então para todo n>= N temos lvert an-1rvert<varepsilon, o que mostra limntoinftyan=1.

Resposta

A sequência l(tfracn+1n+2r)ninN é convergente e seu limite é 1.

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