Mostre que a sequência dada é convergente:
(n^2+2 n+2(n+1)^2+2)n in N

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^2 + 2n + 2(n+1)^2 + 2
para ninN e pede para mostrar que ela converge. O que vamos usar é a propriedade de limites de sequências racionais de polinômios: quando numerador e denominador têm o mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Observando os polinômios de grau 2 em n, tanto no numerador quanto no denominador o coeficiente de n^2 é 1. Por isso já podemos prever que
limntoinftyan = 11 = 1
Mas para ficar mais formal, vamos dividir numerador e denominador por n^2.

Passo 3

Escrevendo primeiro a forma sem expandir o quadrado, temos
an = n^2 + 2n +2(n+1)^2 + 2 = n^2 + 2n +2n^2 +2n +1 +2 = n^2 + 2n +2n^2 +2n +3
Agora dividimos tudo por n^2:
an = 1 + tfrac2n + tfrac2n^21 + tfrac2n + tfrac3n^2

Passo 4

Quando ntoinfty temos
2n to 0 e 1n^2 to 0
Logo, aplicando limite de soma e quociente de limites:
limntoinftyan = liml(1 + tfrac2n + tfrac2n^2r)liml(1 + tfrac2n + tfrac3n^2r) = 1 + 0 + 01 + 0 + 0 = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty n^2 + 2n + 2(n+1)^2 + 2 = 1

Exercícios relacionados