Mostre que a sequência dada é convergente:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
para
e pede para mostrar que ela converge. O que vamos usar é a propriedade de limites de sequências racionais de polinômios: quando numerador e denominador têm o mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Passo 2
Observando os polinômios de grau 2 em
, tanto no numerador quanto no denominador o coeficiente de
é
. Por isso já podemos prever que
Mas para ficar mais formal, vamos dividir numerador e denominador por
.
Passo 3
Escrevendo primeiro a forma sem expandir o quadrado, temos
Agora dividimos tudo por
:
Passo 4
Quando
temos
Logo, aplicando limite de soma e quociente de limites:
Resposta
A sequência converge e