Mostre que a sequência dada é convergente:
(1+(-1)^nn)n in N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = 1 + (-1)^nn
é convergente. O conteúdo aqui é convergência de sequência numérica real, e vamos usar tanto a análise de subsequências quanto o critério de definição varepsilon N.

Passo 2

Observe que o numerador ímpar},\ \displaystyle \frac{2}{n}, &se par. \end{cases}]

Passo 3

Analisando as duas subsequências:
  • Para n ímpar, an = 0, logo essa subsequência converge para 0.
  • Para n par, an = 2/n, e como limntoinfty2/n = 0, essa subsequência também converge para 0.
    Como ambas as subsequências convergem para o mesmo valor 0, a sequência inteira deve convergir para 0.

Passo 4

Uma forma mais direta é notar que, para todo ninN,
lvert anrvert = gllvert 1+(-1)^nngrrvert <= 2n
E sabemos que limntoinfty2/n=0. Portanto lvert anrvertto0, o que implica anto0.

Passo 5

Prova varepsilon N: seja varepsilon>0. Escolha NinN tal que
N > 2varepsilon
Então, para todo n>= N, temos
lvert an - 0rvert = lvert anrvert <= 2n<= 2N < varepsilon
Isso mostra que limntoinftyan=0.

Resposta

limntoinfty1+(-1)^nn = 0

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