Sabendo-se que ((1+1 / n)^n)n in N converge para e verifique que
lim n infty(1+1 /(2 n))^n=raize

Passo 1

O enunciado diz que a sequência l((1+1/n)^nr)ninN converge para e. Precisamos mostrar que
limntoinftyl(1+tfrac12nr)^n=raize
O conteúdo usado será reescrever a sequência em termos da que já conhecemos e usar a continuidade da função raiz quadrada em R^+.

Passo 2

Reescrevemos
l(1+tfrac12nr)^n =l[l(1+tfrac12nr)^2nr]^1/2
Assim vemos que l(1+tfrac12nr)^n é a raiz quadrada de l(1+tfrac12nr)^2n.

Passo 3

Como sabemos que
limmtoinftyl(1+tfrac1mr)^m=e,
basta notar que, ao tomar m=2n, temos
limntoinftyl(1+tfrac12nr)^2n=e

Passo 4

A função xmapsto x^1/2 é contínua em R^+, logo podemos passar o limite para dentro da raiz quadrada:
limntoinftyl[l(1+tfrac12nr)^2nr]^1/2 =l(limntoinfty(1+tfrac12n)^2nr)^1/2 =e^1/2

Resposta

raize

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