Mostre que a sequência dada é convergente:
(cos (n+4n+5))n in N

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = cos!l(tfracn+4,n+5r),
e pede para mostrar que ela converge. O conteúdo principal aqui é limite de sequências e o uso da continuidade da função cos. Vamos primeiro encontrar o limite de tfracn+4n+5 e depois aplicar a continuidade do cosseno.

Passo 2

Defina
xn = n+4,n+5,
Podemos escrever
xn = 1 - 1,n+5,
Como limntoinfty1,n+5=0, segue que
limntoinftyxn = 1 - 0 = 1

Passo 3

Sabemos que a função cos é contínua em todo R. Pelo Teorema do limite da função contínua, fica valendo
limntoinftyan = limntoinftycos(xn) = cos!l(limntoinftyxnr) = cos(1)
Isso mostra que a sequência (an) é convergente.

Resposta

A sequência l(cosl(n+4n+5r)r)ninN converge e
limntoinftycos!l(tfracn+4n+5r)=cos(1)

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