Mostre que a série converge confirmando que satisfaz as hipóteses do teste da série alternada (Teorema 9.6.1).
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}
converge confirmando as hipóteses do teste da série alternada (Teorema 9.6.1). Esse teorema diz que, se (b_k) é uma sequência de termos positivos, decrescente e com \lim_{k\to\infty}b_k=0, então a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}b_k
converge.

Passo 2

Definimos
b_k = \frac{1}{2k+1}.
Primeiro, b_k>0 para todo k\ge1.
Para ver que (b_k) é decrescente, comparamos
b_{k+1} = \frac{1}{2(k+1)+1} = \frac{1}{2k+3}, \quad b_k = \frac{1}{2k+1}.
Como 2k+3>2k+1, segue b_{k+1}<b_k.

Passo 3

Calculamos o limite
\lim_{k\to\infty} b_k = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{2k+1} = 0.
Então (b_k) é decrescente e tende a zero.

Resposta

Pelos passos anteriores, todas as hipóteses do Teorema 9.6.1 estão satisfeitas, logo a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}
converge.

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