Mostre que a série converge confirmando que satisfaz as hipóteses do teste da série alternada (Teorema 9.6.1).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge confirmando as hipóteses do teste da série alternada (Teorema 9.6.1). Esse teorema diz que, se
é uma sequência de termos positivos, decrescente e com
, então a série
converge.
Passo 2
Definimos
Primeiro,
para todo
.
Para ver que é decrescente, comparamos
Para ver que
Como
, segue
.
Passo 3
Calculamos o limite
Então
é decrescente e tende a zero.
Resposta
Pelos passos anteriores, todas as hipóteses do Teorema 9.6.1 estão satisfeitas, logo a série
converge.