\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, se possível, calcular o valor da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}}.
O conteúdo é o Teste de Leibniz (alternating series test) para séries alternadas e, em seguida, uma aproximação numérica do valor da soma usando o critério do termo seguinte como cota de erro.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo
a_k = \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}.
Mostramos que \{a_k\} é estritamente decrescente para k\ge1 e que \lim_{k\to\infty}a_k=0.
  1. Para decrescer, consideramos a função contínua f(x)=1/\sqrt{x(x+1)} em x\ge1. Sua derivada é negativa em x\ge1, logo a_{k+1}<a_k.
  2. Claramente
\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} = 0.

Passo 3

Pelo Teste de Leibniz, como a_k>0, a_{k+1}<a_k e \lim a_k=0, a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k a_k
converge.

Passo 4

Para obter aproximação numérica do valor
S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k(k+1)}},
usamos a propriedade de que o erro ao truncar após N termos é no máximo a_{N+1}.
Escolhemos N tal que a_{N+1} seja pequeno o bastante para nossa precisão desejada (por exemplo, 10^{-3}).

Passo 5

Calculamos somas parciais até termos controlar o erro. Veja alguns parciais: \displaystyle S_{10} \approx -0{,}4180 com erro \le a_{11}\approx0{,}0870, \displaystyle S_{20} \approx -0{,}4400 com erro \le a_{21}\approx0{,}0460.
Como a_{21}<5\times10^{-2}, já temos duas casas decimais confiáveis. Para três casas, escolhemos N=100 e obtemos
S_{100} \approx -0{,}4638
com erro \le a_{101}\approx0{,}005. Mesmo esse erro dá duas casas decimais estáveis em -0{,}464.

Resposta

O somatório converge pelo teste de Leibniz, e seu valor numérico é aproximadamente
-0{,}464\\ (\text{aprox.})

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