Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência e, se possível, calcular o valor da série
O conteúdo é o Teste de Leibniz (alternating series test) para séries alternadas e, em seguida, uma aproximação numérica do valor da soma usando o critério do termo seguinte como cota de erro.
Passo 2
Definimos o termo geral positivo
Mostramos que
é estritamente decrescente para
e que
.
- Para decrescer, consideramos a função contínua
em . Sua derivada é negativa em , logo . - Claramente
Passo 3
Pelo Teste de Leibniz, como
,
e
, a série alternada
converge.
Passo 4
Para obter aproximação numérica do valor
usamos a propriedade de que o erro ao truncar após
termos é no máximo
.
Escolhemos tal que
seja pequeno o bastante para nossa precisão desejada (por exemplo,
).
Escolhemos
Passo 5
Calculamos somas parciais até termos controlar o erro. Veja alguns parciais:
com erro
,
com erro
.
Como , já temos duas casas decimais confiáveis. Para três casas, escolhemos
e obtemos
Como
com erro
. Mesmo esse erro dá duas casas decimais estáveis em
.
Resposta
O somatório converge pelo teste de Leibniz, e seu valor numérico é aproximadamente