1- (1,0 pontos) Verifique se a sequência \left\{(-1)^{n+1} \frac{3 n^{2}}{n^{3}+5}\right\}_{n=1}^{\infty} converge e em caso afirmativo, encontre para qual

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
\displaystyle a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac{3\,n^{2}}{n^{3}+5}
converge quando n\to\infty e, em caso afirmativo, determinar o seu limite.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência, usando o fato de que, para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento assintótico.

Passo 2

Estudamos primeiro o comportamento do valor absoluto de a_n. Observe que
\frac{3\,n^{2}}{n^{3}+5} =\frac{3}{n+\frac{5}{n^{2}}}\,.
Como n\to\infty, o termo \tfrac{5}{n^{2}} tende a zero, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{3\,n^{2}}{n^{3}+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+\frac{5}{n^{2}}} =0.

Passo 3

Agora, como ( -1)^{n+1} é sempre \pm1 (ou seja, uma sequência limitada), o produto
\bigl(-1)^{n+1}\bigr)\,\frac{3n^{2}}{n^{3}+5}
também tende a zero. Formalmente, pelo teorema do produto de sequências, tendo
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1} limitado e \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}}{n^{3}+5}=0, conclui-se
\lim_{n\to\infty}a_{n} =0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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