2- (2,0 pontos) Verifique se a série
converge e em caso afirmativo, encontre sua soma:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergir, calcular a soma da série
O conteúdo envolve duas técnicas: soma de série geométrica (para
) e soma telescópica (para
).
Passo 2
Separemos a série em duas partes, usando a linearidade da soma:
Passo 3
Para a parte geométrica, note que
É uma série geométrica com termo inicial
e razão
,
com . Logo ela converge e
com
Passo 4
Para a parte telescópica, fazemos fração parcial:
O somatório parcial até
é
Fazendo
obtemos
.
Passo 5
Somando as duas partes:
Portanto, a série converge.