2- (2,0 pontos) Verifique se a série \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-3)^{k}}{6^{k}}+\frac{5}{k(k+1)}\right) converge e em caso afirmativo, encontre sua soma:

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergir, calcular a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\frac{(-3)^{k}}{6^{k}}+\frac{5}{k(k+1)}\Bigr).
O conteúdo envolve duas técnicas: soma de série geométrica (para \tfrac{(-3)^{k}}{6^{k}}) e soma telescópica (para \tfrac{5}{k(k+1)}).

Passo 2

Separemos a série em duas partes, usando a linearidade da soma:
S \;=\;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-3)^{k}}{6^{k}}\;+\;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{5}{k(k+1)}.

Passo 3

Para a parte geométrica, note que
\frac{(-3)^{k}}{6^{k}} = \Bigl(-\tfrac{3}{6}\Bigr)^{k} = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{k}.
É uma série geométrica com termo inicial
\;a_{1} = (-\tfrac12)\; e razão
\;r = -\tfrac12,
com \lvert r\rvert<1. Logo ela converge e
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{k} =\frac{a_{1}}{1-r} =\frac{-\tfrac12}{1 - (-\tfrac12)} =\frac{-\tfrac12}{\tfrac32} =-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Para a parte telescópica, fazemos fração parcial:
\frac{5}{k(k+1)} =5\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr).
O somatório parcial até N é
\sum_{k=1}^{N}5\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) =5\Bigl(1-\frac{1}{N+1}\Bigr).
Fazendo N\to\infty obtemos
\;5\cdot1=5.

Passo 5

Somando as duas partes:
S = -\tfrac{1}{3} + 5 = \frac{-1 + 15}{3} = \frac{14}{3}.
Portanto, a série converge.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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