Mostre que a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}-n-1}{n!} tem soma igual a 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}-n-1}{n!}.
Isso envolve manipular fatoriais e usar ideias de séries conhecidas, como a expansão de e e o deslocamento de índices para obter somas telescópicas.

Passo 2

Note que o numerador pode ser reescrito em função de n(n-1):
n^2 - n - 1 = n(n-1) - 1.
Logo cada termo da série fica
\frac{n^2-n-1}{n!} =\frac{n(n-1)}{n!}-\frac{1}{n!}.

Passo 3

Simplifique \frac{n(n-1)}{n!} usando n!=n(n-1)(n-2)!:
\frac{n(n-1)}{n!} =\frac{n(n-1)}{n(n-1)(n-2)!} =\frac{1}{(n-2)!}.
Portanto
\frac{n^{2}-n-1}{n!} =\frac{1}{(n-2)!}-\frac{1}{n!}.

Passo 4

Separe a série original em duas:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!} \;-\; \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}.
Na primeira, faça k=n-2. Quando n=2 temos k=0 e n\to\infty vira k\to\infty, então
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} =e.
Na segunda, use que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e
e remova os termos n=0 e n=1:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!} =e-\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!} =e-1-1 =e-2.

Passo 5

Substituindo de volta, a soma fica
e \;-\;(e-2) =2.

Resposta

A soma da série é 2.

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