Mostre que a série
tem soma igual a 2 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Isso envolve manipular fatoriais e usar ideias de séries conhecidas, como a expansão de
e o deslocamento de índices para obter somas telescópicas.
Passo 2
Note que o numerador pode ser reescrito em função de
:
Logo cada termo da série fica
Passo 3
Simplifique
usando
:
Portanto
Passo 4
Separe a série original em duas:
Na primeira, faça
. Quando
temos
e
vira
, então
Na segunda, use que
e remova os termos
e
:
Passo 5
Substituindo de volta, a soma fica
Resposta
A soma da série é
.