Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0, x>0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''+3x\,y'+y=0,\quad x>0.
Esse é um caso de equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional), em que procuramos soluções da forma y=x^{r}.

Passo 2

Suponha
y(x)=x^{r}.
Então
y'(x)=r\,x^{r-1}, \quad y''(x)=r(r-1)\,x^{r-2}.

Passo 3

Substituindo em x^{2}y''+3x\,y'+y=0 obtemos
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] +3x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] +x^{r}=0
ou seja
r(r-1)x^{r}+3r\,x^{r}+x^{r}=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl[r(r-1)+3r+1\bigr]x^{r}=0.

Passo 4

A parte entre colchetes é o polinômio característico
r(r-1)+3r+1 = r^{2}-r+3r+1 = r^{2}+2r+1 = (r+1)^{2}=0,
cuja raiz dupla é
r=-1\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 5

Para raiz dupla r=-1 a solução geral de uma equação de Cauchy–Euler é
y(x) = C_{1}\,x^{r}+C_{2}\,x^{r}\ln(x) = C_{1}\,x^{-1}+C_{2}\,x^{-1}\ln(x),
válida em x>0.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-1}\ln(x).

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