Mostre que a série sumn=0^infty x^nn! representa a função f(x)=e^x, provando que o resto da série de Taylor tende a zero, se n infty.

Passo 1

Vamos provar que a expansão em séries de Taylor de f(x)=e^{x} em torno de 0 é sumn=0^infty x^nn! e que o resto tende a zero quando ntoinfty. Para isso usaremos o teorema de Taylor com resto de Lagrange.

Passo 2

Sabemos que f(x)=e^x tem derivadas de todas as ordens e que para todo k>=0 vale f^(k)(x)=e^x. Em particular, no ponto 0, temos
f^(k)(0)=e^0=1

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau n em torno de 0 (Maclaurin) é
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!x^k=sumk=0^nx^kk!

Passo 4

Pelo teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, existe xi entre 0 e x tal que o resto Rn(x) é dado por
Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!x^n+1=e^xi(n+1)!x^n+1

Passo 5

Para estimar o resto, note que xi está entre 0 e x, então
$$|e^{\xi}|\le e^{|x|}.
$$ Logo
|e^xi|<= e^|x|

Passo 6

Sabemos que a sequência |x|^n+1(n+1)! tende a zero quando ntoinfty, pois o crescimento de (n+1)! domina qualquer potência de |x|. Multiplicando por e^|x|, que é constante em n, ainda temos
limntoinfty|Rn(x)|=0

Passo 7

Como o resto tende a zero, concluímos que
$$e{x}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
$$

Resposta

A série sumn=0^inftyx^nn! converge para e^x, pois o resto da expansão de Taylor de ordem n tende a zero quando ntoinfty.

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