Mostre que a série
representa a função
, provando que o resto da série de Taylor tende a zero, se
.
Passo 1
Vamos provar que a expansão em séries de Taylor de f(x)=e^{x} em torno de 0 é
e que o resto tende a zero quando
. Para isso usaremos o teorema de Taylor com resto de Lagrange.
Passo 2
Sabemos que
tem derivadas de todas as ordens e que para todo
vale
. Em particular, no ponto 0, temos
Passo 3
O polinômio de Taylor de grau
em torno de 0 (Maclaurin) é
Passo 4
Pelo teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, existe
entre 0 e
tal que o resto
é dado por
Passo 5
Para estimar o resto, note que
está entre 0 e
, então
$$|e^{\xi}|\le e^{|x|}.
$$ Logo
Passo 6
Sabemos que a sequência
tende a zero quando
, pois o crescimento de
domina qualquer potência de
. Multiplicando por
, que é constante em
, ainda temos
Passo 7
Como o resto tende a zero, concluímos que
$$e{x}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
$$
Resposta
A série
converge para
, pois o resto da expansão de Taylor de ordem
tende a zero quando
.