Mostre por que as séries a seguir são divergentes. (Dica: aplique a ideia da Questão anterior: uma série sum an só pode convergir se lim n infty an=0.)
sumn=1^infty arctan (n)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa mostrar que a série
sumn=1^infty arctan(n)
é divergente.
Conteúdo da matéria: séries infinitas e, em especial, o “teste do termo geral” (ou condição necessária de convergência).
O que vamos usar: para qualquer série sum an, se ela converge então limntoinftyan=0.

Passo 2

Vamos olhar para o termo geral an = arctan(n).
Teoria: a função arctan(x) é crescente e satisfaz
limxtoinftyarctan(x) = pi2
Como estamos em ninN, vale também
limntoinftyarctan(n) ;=;pi2

Passo 3

Aplicando o teste do termo geral: para a série sum an convergir, é necessário ter limntoinftyan=0.
Aqui temos limntoinftyan = pi/2 neq 0.
Logo, a condição necessária não é satisfeita, então a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty arctan(n) diverge, pois seu termo geral arctan(n) não tende a zero ( limntoinftyarctan(n)=pi/2neq0).

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