Resolva as inequações modulares abaixo:
|x^2-4|<3 x;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular
|x^2-4|<3x
O conteúdo principal aqui é inequação com valor absoluto. Para resolver, vamos usar a propriedade
l|Ar|<Bimplies B>0 e -B<A<B,
aplicada a A=x^2-4 e B=3x.

Passo 2

Antes de distribuir o valor absoluto, precisamos que o segundo membro seja positivo:
3x>0implies x>0

Passo 3

Com x>0, a inequação l|x^2-4r|<3x equivale a
-3x<x^2-4<3x
Isso gera duas desigualdades simultâneas:

Passo 4

Primeira desigualdade:
x^2-4<3x
x^2-3x-4<0
O polinômio x^2-3x-4 tem raízes
x=3pmraiz9+162=3pm52,
ou seja, x=-1 e x=4. Como o coeficiente de x^2 é positivo, ele é negativo entre as raízes, logo
x^2-3x-4<0implies -1<x<4

Passo 5

Segunda desigualdade:
-(x^2-4)<3x
-x^2+4<3x
x^2+3x-4>0
As raízes de x^2+3x-4 são
x=-3pmraiz9+162=-3pm52,
ou seja, x=-4 e x=1. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão é positiva para
x< -4ou x>1

Passo 6

Agora combinamos todas as condições:
  1. x>0.
  2. -1<x<4.
  3. x<-4 ou x>1.
Da condição x>0 e -1<x<4 obtemos 0<x<4. Dessarte, resta x>1 dentro desse intervalo. Logo a solução final é
1<x<4

Resposta

boxed(1,4)

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