Resolva as inequações modulares abaixo:
|6-5 x3+x| <= 12;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular
|6-5x3+x|<= 12
O conteúdo envolvido é desigualdade com valor absoluto e expressão racional. Precisamos cuidar do domínio (denominador diferente de zero) e usar propriedades de módulos para encontrar as soluções em R.

Passo 2

Determinamos o domínio da expressão 6-5x3+x. Como o denominador não pode ser zero, temos
3 + x neq 0 Longrightarrow x neq -3

Passo 3

Aplicamos a propriedade l|tfracABr|<= C (com C>0) multiplicando em ambos os lados por lvert3+xrvert>0. Isso dá
l|6-5xr|<= tfrac12,lvert3+xrvert Long<=ftrightarrow 2,lvert6-5xrvert<= lvert x+3rvert

Passo 4

Separamos em dois casos segundo o sinal de x+3:
Caso 1: x>-3.
Então lvert x+3rvert = x+3 e a desigualdade vira
2,lvert6-5xrvert<= x+3
Dentro deste caso, quebramos em subcasos pelo sinal de 6-5x:
  • Se 6-5x>=0 (isto é, x<=65), então lvert6-5xrvert=6-5x e
    2(6-5x)<= x+3 Longrightarrow 12-10x<= x+3 Longrightarrow 11x>=9 Longrightarrow x>=911
    Juntando com -3<x<=65, obtemos
    911<= x<=65
  • Se 6-5x<0 (isto é, x>65), então lvert6-5xrvert=5x-6 e
    2(5x-6)<= x+3 Longrightarrow 10x-12<= x+3 Longrightarrow 9x<=15 Longrightarrow x<=53
    Juntando com x>65, obtemos
    65<x<=53
Portanto, no caso x>-3 a solução é
911<= x<=65 cup 65<x<=53 ;Longrightarrow; 911<= x<=53

Passo 5

Caso 2: x<-3.
Aqui lvert x+3rvert=-(x+3) e como x< -3<65 temos lvert6-5xrvert=6-5x. A desigualdade fica
2(6-5x)<= -(x+3) Longrightarrow 12-10x<= -x-3 Longrightarrow 9x>=15 Longrightarrow x>=53,
o que não tem interseção com x<-3. Logo, não há soluções neste caso.

Passo 6

Unindo as soluções válidas e lembrando que xneq-3 não interfere (pois nossas soluções ficam em [tfrac911,tfrac53]), concluímos
xin[911,53]

Resposta

boxedxin[911,53]

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