Utilizando integrais triplas, calcule I=integral tripla(x cdot y cdot z^2) d V, no paralelepípedo:
B=(x, y, z) / 0 <= x <= 1,-1 <= y <= 2 e 0 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função I = integral tripla (x cdot y cdot z^2) , dV sobre o paralelepípedo B definido pelos limites 0 <= x <= 1, -1 <= y <= 2 e 0 <= z <= 3. Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas em Cálculo, especificamente as integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral tripla envolve calcular a área sob a superfície da função x cdot y cdot z^2 dentro dos limites especificados para x, y e z. A ideia é integrar essa função em relação a uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z. A integral em z vai de 0 a 3:
integral0^3 x cdot y cdot z^2 , dz
Como x e y são constantes em relação a z, podemos fatorá-los para fora da integral:
x cdot y cdot integral0^3 z^2 , dz
Agora, integramos z^2 em relação a z:
integral z^2 , dz = z^33
Aplicando os limites:
3^33 - 0^33 = 273 = 9
Então, a integral em z fica:
x cdot y cdot 9 = 9xy

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y, com os limites de -1 a 2:
integral-1^2 9xy , dy
Aqui, 9x é constante em relação a y, então podemos fatorá-lo:
9x cdot integral-1^2 y , dy
Integrando y em relação a y:
integral y , dy = y^22
Aplicando os limites:
2^22 - (-1)^22 = 42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5
Então, a integral em y fica:
9x cdot 1,5 = 13,5x

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a x, com os limites de 0 a 1:
integral0^1 13,5x , dx
Integrando x em relação a x:
integral x , dx = x^22
Aplicando os limites:
1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 0,5
Então, a integral em x fica:
13,5 cdot 0,5 = 6,75

Resposta

O valor da integral tripla é I = 6,75.

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