Utilizando integrais triplas, calcule
, no paralelepípedo:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função
sobre o paralelepípedo
definido pelos limites
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas em Cálculo, especificamente as integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral tripla envolve calcular a área sob a superfície da função
dentro dos limites especificados para
,
e
. A ideia é integrar essa função em relação a uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A integral em
vai de 0 a 3:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos fatorá-los para fora da integral:
Agora, integramos
em relação a
:
Aplicando os limites:
Então, a integral em
fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
, com os limites de
a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos fatorá-lo:
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites:
Então, a integral em
fica:
Passo 5
Por fim, vamos integrar em relação a
, com os limites de
a
:
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites:
Então, a integral em
fica:
Resposta
O valor da integral tripla é
.