Mostre que z=0 é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em z=0 para que ela fique regular nesse ponto.
cosh 2 z-1sen^2 z.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que z=0 é singularidade removível de
f(z)=cosh 2z - 1sin^2 z
e determinar qual valor atribuir em z=0 para que f fique regular ali. Como em z=0 aparece a forma 0/0, vamos calcular
limzto0f(z) usando expansão em série de Taylor.

Passo 2

Expandimos em série de Taylor até ordem z^4:
cosh 2z = 1 + (2z)^22! + (2z)^44! + O(z^6) = 1 + 2z^2 + tfrac23z^4 + O(z^6),
sin z = z - z^36 + O(z^5)

Passo 3

Com isso,
cosh 2z - 1 = 2z^2 + tfrac23z^4 + O(z^6),
sin^2 z = l(z - tfracz^36 + O(z^5)r)^2 = z^2 - tfracz^43 + O(z^6)

Passo 4

Formando o quociente,
cosh 2z - 1sin^2 z = 2z^2 + tfrac23z^4 + O(z^6)z^2l(1-tfracz^23+O(z^4)r) = 2,1 + tfrac13z^2 + O(z^4)1 - tfrac13z^2 + O(z^4) = 2 + O(z^2)

Passo 5

Como limzto0f(z)=2 é finito, z=0 é singularidade removível. Basta definir
f(0)=2
para que a função fique regular em z=0.

Resposta

f(0)=2

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