Mostre que
é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em
para que ela fique regular nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em
a função
tem singularidade removível e para encontrar o valor que devemos definir em
para que
fique analítica ali. O conteúdo principal aqui é analisar o comportamento de
perto de
usando séries de Taylor (ou l’Hôpital) para tirar a indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro verificamos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam em
:
Isso indica uma indeterminação do tipo
. Para ver se é removível e achar o valor limite, vamos expandir ambos em série de Taylor em torno de
.
Passo 3
A expansão de Taylor de
em torno de
é
e a expansão de
é
Passo 4
Dividindo as séries:
Como o fator
cancela, não há termo
na expansão de Laurent; a singularidade é, portanto, removível. Para encontrar o valor em
, basta tomar o limite
Resposta
O singularidade em
é removível e devemos definir
para que a função fique regular em
.