Mostre que z=0 é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em z=0 para que ela fique regular nesse ponto.
e^z-1sen 2 z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em z=0 a função
f(z)=e^z-1sin(2z)
tem singularidade removível e para encontrar o valor que devemos definir em z=0 para que f fique analítica ali. O conteúdo principal aqui é analisar o comportamento de f perto de z=0 usando séries de Taylor (ou l’Hôpital) para tirar a indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Primeiro verificamos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam em z=0:
e^0-1=0, sen(2cdot0)=0
Isso indica uma indeterminação do tipo 0/0. Para ver se é removível e achar o valor limite, vamos expandir ambos em série de Taylor em torno de 0.

Passo 3

A expansão de Taylor de e^z-1 em torno de 0 é
e^z-1 = z + z^22 + z^36 + O(z^4),
e a expansão de sen(2z) é
sen(2z) = 2z - (2z)^36 + O(z^5) = 2z - 43,z^3 + O(z^5)

Passo 4

Dividindo as séries:
e^z-1sen(2z) = zl(1 + tfracz2 + tfracz^26 + O(z^3)r) zl(2 - tfrac43z^2 + O(z^4)r) = 1 + tfracz2 + tfracz^26 + O(z^3) 2 - tfrac43z^2 + O(z^4)
Como o fator z cancela, não há termo tfrac1z na expansão de Laurent; a singularidade é, portanto, removível. Para encontrar o valor em z=0, basta tomar o limite
limzto0 e^z-1sen(2z) =12

Resposta

O singularidade em z=0 é removível e devemos definir
f(0)=12
para que a função fique regular em z=0.

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