Mostre que z=0 é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em z=0 para que ela fique regular nesse ponto.
1e^z-1-1z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que z=0 é uma singularidade removível de
f(z)=1e^z-1-1z
e determinar qual valor atribuir a f(0) para que f fique regular em 0. Vamos usar a expansão em série de Taylor de e^z e calcular a série de Laurent de f em torno de z=0.

Passo 2

Expandimos e^z em série de Taylor:
e^z=1+z+z^22+z^36+cdots,
logo
e^z-1=z+z^22+z^36+cdots

Passo 3

Escrevendo
e^z-1 = zl(1+tfracz2+tfracz^26+cdotsr)
temos
1e^z-1 = 1z;11+tfracz2+tfracz^26+cdots
Usando 11+A=1-A+A^2-cdots com A=tfracz2+tfracz^26+cdots, obtém-se
1e^z-1 = 1zl(1-tfracz2+tfracz^212+O(z^3)r) = 1z-12+z12+O(z^2)

Passo 4

Subtraindo 1z, fica
1e^z-1-1z = -12+z12+O(z^2),
ou seja, o termo principal 1/z se cancela e não aparecem potências negativas em z. Logo a singularidade em z=0 é removível.

Passo 5

O valor que deve ser atribuído a f(0) para que ela fique regular é o limite
limzto0l(1e^z-1-1zr) = -12

Resposta

Definir
f(0)=-tfrac12
tira a singularidade e torna f regular em z=0.

Exercícios relacionados