Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem m dos pólos e os correspondentes resíduos b1.
exp (z)z^2+pi^2

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=e^zz^2+pi^2 e pede para mostrar que as singularidades são pólos, determinar a ordem m desses pólos e calcular os resíduos b1. Vamos usar que uma singularidade isolada de f é pólo de ordem k se o denominador zera com multiplicidade k enquanto o numerador é analítico e não nulo ali.

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades resolvendo z^2+pi^2=0. Isso dá
z^2=-pi^2implies z= ipiou z=-ipi,

Passo 3

Em seguida, classificamos cada singularidade. O polinômio z^2+pi^2 tem derivada (z^2+pi^2)'=2z. Em z0=pm ipi temos 2z0=pm2ipineq0, ou seja, cada zero do denominador é simples. Como o numerador e^z é inteiro e não anula em z0, f tem polos simples (ordem m=1) em z=pm ipi.

Passo 4

Para um pólo simples em z0, o resíduo é dado por
$$\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=\frac{e{z_0}}{(z2+\pi^2)

Passo 5

\bigl|_{z=z_0}}=\frac{e^{z_0}}{2z_0},.$$

Passo 6

Agora basta avaliar em cada ponto:
para z0=ipi:
b1(ipi)=e^ipi2ipi=-12ipi=i2pi,,

Passo 7

para z0=-ipi:
b1(-ipi)=e^-ipi2(-ipi)=-1-2ipi=12ipi=-i2pi,

Resposta

Os polos estão em z=pm ipi, são simples (ordem m=1) e os resíduos são
Em z=ipi: b1=i2pi
Em z=-ipi: b1=-i2pi

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