Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem
dos pólos e os correspondentes resíduos
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que as singularidades são pólos, determinar a ordem
desses pólos e calcular os resíduos
. Vamos usar que uma singularidade isolada de
é pólo de ordem
se o denominador zera com multiplicidade
enquanto o numerador é analítico e não nulo ali.
Passo 2
Primeiro identificamos as singularidades resolvendo
. Isso dá
Passo 3
Em seguida, classificamos cada singularidade. O polinômio
tem derivada
. Em
temos
, ou seja, cada zero do denominador é simples. Como o numerador
é inteiro e não anula em
,
tem polos simples (ordem
) em
.
Passo 4
Para um pólo simples em
, o resíduo é dado por
$$\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=\frac{e{z_0}}{(z2+\pi^2)
Passo 5
\bigl|_{z=z_0}}=\frac{e^{z_0}}{2z_0},.$$
Passo 6
Agora basta avaliar em cada ponto:
para :
para
Passo 7
para
:
Resposta
Os polos estão em
, são simples (ordem
) e os resíduos são
Em :
Em :
Em
Em