1. Seja a matriz
A=(cc -2 & 5 1 & -3 )
determine:
(a) A^-2
(b) A A^-3
© A^-3 A
(d) A^n A^-n-1
(e)

Passo 1

O exercício dá a matriz A=-2 & 5 1 & -3 e pede várias potências e produtos envolvendo A e A^-1. Vamos usar teoria de potência de matrizes ( A^pA^q=A^p+q) e a fórmula de inversa de matriz 2times2: se A=a&bc&d, então A^-1=1ad-bcd&-b-c&a.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o determinante e a inversa de A. O determinante é
det(A)=(-2)(-3)-5cdot1=6-5=1
Como det(A)=1neq0, temos
A^-1=11-3&-5-1&-2=-3&-5-1&-2

Passo 3

Para (a), usamos A^-2=(A^-1)^2 e calculamos
A^-2=-3&-5-1&-2^2=14&255&9

Passo 4

Para (b) e © aplicamos a regra de potência:
A,A^-3=A^1-3=A^-2, A^-3A=A^-3+1=A^-2,
logo ambos são A^-2=14&255&9

Passo 5

No item (d) temos
A^nA^-n-1=A^n+(-n-1)=A^-1,isto é
A^-1=-3&-5-1&-2

Passo 6

Para (e) distribuímos:
A^-2(A+A^-1)A=(A^-2A+A^-2A^-1)A=(A^-1+A^-3)A=I+A^-2,e somando com a identidade fica
I+A^-2=1&00&1+14&255&9=15&255&10

Resposta

(a) A^-2=14&255&9
(b) AA^-3=14&255&9
© A^-3A=14&255&9
(d) A^nA^-n-1=A^-1=-3&-5-1&-2
(e) A^-2(A+A^-1)A=15&255&10

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