Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação é linear.
d yd t+2 y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o sistema dado por
dydt + 2,y(t) = x(t)
é linear. Isto envolve reconhecer que essa é uma equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes e aplicar o princípio da superposição, isto é, verificar homogeneidade e aditividade.

Passo 2

Definição de linearidade: seja T o operador que a cada entrada x(t) associa a saída y(t) solução da equação. O sistema é linear se, para quaisquer entradas x1,x2 com respostas y1,y2 e quaisquer escalares a,b, a entrada combinada
x3(t) = a,x1(t) + b,x2(t)
produz como resposta
y3(t) = a,y1(t) + b,y2(t)

Passo 3

Suponha que x1(t) gere y1(t), ou seja
dy1dt + 2,y1 = x1,
e que x2(t) gere y2(t), ou seja
dy2dt + 2,y2 = x2
Vamos testar a combinação linear: tome
x3 = a,x1 + b,x2, y3 = a,y1 + b,y2

Passo 4

Calculemos
dy3dt + 2,y3 = a,dy1dt + b,dy2dt + 2,a,y1 + 2,b,y2 = al(tfracdy1dt+2,y1r) + bl(tfracdy2dt+2,y2r)
Pelo que sabemos das equações de y1 e y2, isso vale
a,x1 + b,x2 = x3
Logo y3 satisfaz a mesma equação para a entrada x3.

Resposta

O sistema é linear, pois satisfaz o princípio da superposição: a soma ponderada de duas entradas gera a mesma soma ponderada das saídas.

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