Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação é linear.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o sistema dado por
é linear. Isto envolve reconhecer que essa é uma equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes e aplicar o princípio da superposição, isto é, verificar homogeneidade e aditividade.
Passo 2
Definição de linearidade: seja
o operador que a cada entrada
associa a saída
solução da equação. O sistema é linear se, para quaisquer entradas
com respostas
e quaisquer escalares
, a entrada combinada
produz como resposta
Passo 3
Suponha que
gere
, ou seja
e que
gere
, ou seja
Vamos testar a combinação linear: tome
Passo 4
Calculemos
Pelo que sabemos das equações de
e
, isso vale
Logo
satisfaz a mesma equação para a entrada
.
Resposta
O sistema é linear, pois satisfaz o princípio da superposição: a soma ponderada de duas entradas gera a mesma soma ponderada das saídas.