Prove (por substituição direta) que a solução (geral) desse problema é dada por:
x(t)=A \sin (\omega t)+B \cos (\omega t),
onde
\omega^{2}=\frac{k}{m}
.
II.26:

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial do oscilador harmônico simples, sem amortecimento:
m,d^2xdt^2 + k,x = 0
O conteúdo é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos testar diretamente a solução
x(t) = A sin(omega t) + B cos(omega t),
procurando o valor de omega que torna essa expressão solução da EDO.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de x(t). A primeira é
dotx(t) = A,omegacos(omega t);-;B,omegasin(omega t),
e a segunda é
ddotx(t) = -A,omega^2sin(omega t);-;B,omega^2cos(omega t)

Passo 3

Substituímos ddotx(t) e x(t) na equação original:
m,ddotx(t) + k,x(t) = ml(-Aomega^2sin(omega t)-Bomega^2cos(omega t)r) + kl(Asin(omega t)+Bcos(omega t)r)

Passo 4

Fatorando Asin(omega t)+Bcos(omega t) obtemos
m,ddotx+k,x = l(-momega^2 + kr)l(Asin(omega t)+Bcos(omega t)r)
Para que isso seja zero para todo t, basta exigir
-momega^2 + k = 0 Longrightarrow omega^2 = km

Passo 5

Como a EDO é linear homogênea de ordem 2, sua solução geral é combinação linear de duas soluções independentes. Vimos que sin(omega t) e cos(omega t) resolvem a EDO e são linearmente independentes. Portanto a forma
x(t) = A sin(omega t) + B cos(omega t)
é de fato a solução geral.

Resposta

x(t) = A sin(omega t) + B cos(omega t), omega^2 = km

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