Prove (por substituição direta) que a solução (geral) desse problema é dada por:
x(t)=A \sin (\omega t)+B \cos (\omega t),
onde
\omega^{2}=\frac{k}{m}
.
II.26:
onde
\omega^{2}=\frac{k}{m}
.
II.26:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial do oscilador harmônico simples, sem amortecimento:
O conteúdo é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos testar diretamente a solução
procurando o valor de
que torna essa expressão solução da EDO.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas de
. A primeira é
e a segunda é
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Fatorando
obtemos
Para que isso seja zero para todo
, basta exigir
Passo 5
Como a EDO é linear homogênea de ordem 2, sua solução geral é combinação linear de duas soluções independentes. Vimos que
e
resolvem a EDO e são linearmente independentes. Portanto a forma
é de fato a solução geral.