Nos problemas de 1 a 6 , escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a T.Laplace da função dada:
f(t)=llt, & 0 <= t<2 0, & t >= 2

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos escrever a função f(t) em termos de funções degrau unitário (funções de Heaviside) e, em seguida, encontrar a sua Transformada de Laplace. A função dada é:
f(t) = t, & 0 <= t < 2 0, & t >= 2
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as funções de degrau unitário e a Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside, denotada por uc(t) . Ela é definida da seguinte forma:
uc(t) = 0, & t < c 1, & t >= c
Essa função é útil para “ligar” ou “desligar” partes de uma função em determinados pontos.

Passo 3

Agora, vamos reescrever f(t) usando a função degrau unitário. Observamos que f(t) = t para 0 <= t < 2 e f(t) = 0 para t >= 2 . Podemos expressar isso como:
f(t) = t cdot u0(t) - t cdot u2(t)
Como u0(t) é sempre 1 para t >= 0 , podemos simplificar para:
f(t) = t - t cdot u2(t)

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função f(t) . Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Também lembraremos que:
Lt = 1s^2
e, para a função com deslocamento:
Luc(t) cdot f(t - c) = e^-cs F(s)
onde F(s) é a Transformada de Laplace de f(t) .

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace em f(t) = t - t cdot u2(t) :
Lf(t) = Lt - Lt cdot u2(t)
Sabemos que Lt = 1s^2 . Para Lt cdot u2(t) , usamos a propriedade de deslocamento:
Lt cdot u2(t) = e^-2s Lt + 2
Calculando Lt + 2 :
Lt + 2 = Lt + L2 = 1s^2 + 2s
Portanto:
Lt cdot u2(t) = e^-2s ( 1s^2 + 2s )

Resposta

A Transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = 1s^2 - e^-2s ( 1s^2 + 2s )

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