Mostre que y1 é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
2 y^prime cos x=2 cos ^2 x-sen^2 x+y^2, y1=sen x

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
2,y'(x)cos x ;=;2cos^2 x ;-;sin^2 x;+;y(x)^2
e informa uma solução particular ;y1(x)=sin x.
Conteúdo: Riccati.
O que vamos precisar:
– Verificar que sin x satisfaz a equação.
– Em seguida usar a substituição
y(x)=y1(x)+1u(x)
para reduzir a Riccati a uma equação linear em u(x).

Passo 2

Verificação de que y1(x)=sin x é solução.
Calculemos
y1'(x)=cos x
Então o lado esquerdo da Riccati fica
2,y1'(x)cos x =2cos xcos x =2cos^2 x,
enquanto o direito é
2cos^2 x-sin^2 x+(sin x)^2 =2cos^2 x-sin^2 x+sin^2 x =2cos^2 x
Logo LHS = RHS, ou seja sin x é de fato solução particular.

Passo 3

Colocando em forma padrão de Riccati
y'=a(x),y^2+b(x),y+c(x),
dividimos a equação original por 2cos x (supondo cos xneq0):
y'=12cos x,y^2 +underbrace0b(x),y +2cos^2 x-sin^2 x2cos x
Portanto
a(x)=12cos x, b(x)=0, c(x)=2cos^2 x-sin^2 x2cos x

Passo 4

Fazemos a substituição
y(x)=y1(x)+1u(x) =sin x+1u(x)
Das fórmulas padrão de Riccati surge para u a equação linear
u'(x)+l(2,a(x),y1(x)+b(x)r),u(x)=-a(x)
Aqui 2,a(x),y1(x)=2cdot12cos xcdotsin x=tan x e -a(x)=-tfrac12cos x.
Logo
u'+tan x;u=-12cos x
O fator integrante é
mu(x)=expl(integraltan x,dxr) =expl(-ln|cos x|r) =1cos x
Multiplicando a equação por tfrac1cos x obtém-se
l(u/cos xr)' =-12cos^2 x =-tfrac12sec^2 x
Integrando,
u(x)cos x =-12tan x + C,
u(x)=cos xl(C-tfrac12tan xr) = Ccos x-tfrac12sin x

Passo 5

Voltando a y:
y(x)=sin x+1u(x) =sin x+1Ccos x-tfrac12sin x
Podemos multiplicar numerador e denominador de tfrac1u por 2 para simplificar a constante:
y(x)=sin x+22Ccos x-sin x,
onde 2C é outra constante arbitrária, digamos K.

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=sin x+2Kcos x-sin x,
com K constante arbitrária.

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