Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação de Riccati
e informa uma solução particular
.
Conteúdo: Riccati.
O que vamos precisar:
– Verificar que satisfaz a equação.
– Em seguida usar a substituição
Conteúdo: Riccati.
O que vamos precisar:
– Verificar que
– Em seguida usar a substituição
para reduzir a Riccati a uma equação linear em
.
Passo 2
Verificação de que
é solução.
Calculemos
Calculemos
Então o lado esquerdo da Riccati fica
enquanto o direito é
Logo LHS
RHS, ou seja
é de fato solução particular.
Passo 3
Colocando em forma padrão de Riccati
dividimos a equação original por
(supondo
):
Portanto
Passo 4
Fazemos a substituição
Das fórmulas padrão de Riccati surge para
u a equação linear
Aqui
2,a(x),y1(x)=2cdot12cos xcdotsin x=tan x e
-a(x)=-tfrac12cos x .
Logo
Logo
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
tfrac1cos x obtém-se
Integrando,
Passo 5
Voltando a
y :
Podemos multiplicar numerador e denominador de
tfrac1u por
2 para simplificar a constante:
onde
2C é outra constante arbitrária, digamos
K .
Resposta
A solução geral é
com
K constante arbitrária.