Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores
V=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \operatorname{com} a, b, c, d \in \mathbf{R}\right. e \left.b=c\right\}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
V = \left\{ \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\;\big|\;b=c\right\}
e pergunta se V é subespaço de M(2,2). Se for, precisamos exibir um sistema de geradores (ou base).

Passo 2

Para verificar que V é subespaço, checamos:
  1. A matriz zero está em V, pois
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
satisfaz b=c=0.
2. Se X=\begin{pmatrix}a_1&b_1\b_1&d_1\end{pmatrix} e Y=\begin{pmatrix}a_2&b_2\b_2&d_2\end{pmatrix} pertencem a V, então
X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\\ b_1+b_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}
também satisfaz que o elemento acima da diagonal é igual ao de baixo.
3. Se \lambda\in\mathbb{R} e X\in V, então
\lambda X =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\\ \lambda b& \lambda d\end{pmatrix}
continua com os elementos fora da diagonal iguais.
Logo, V é subespaço de M(2,2).

Passo 3

Para encontrar geradores, note que toda matriz em V tem a forma
\begin{pmatrix}a&b\b&d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Assim, um sistema de geradores (na verdade uma base) é
A = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Resposta

Sim, V é subespaço de M(2,2).
Um conjunto de geradores é
\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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