Mostre que para
, a função exponencial generalizada
diverge em
, onde
é finito. Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas quando
: (a) que a função exponencial generalizada
diverge em um ponto
finito; (b) que esse ponto é
. As informações dadas são apenas o parâmetro
e a definição padrão da exponencial generalizada (que vou usar abaixo).
Passo 2
Primeiro vamos escrever claramente a definição da exponencial generalizada que usaremos. A forma comum, consistente com a generalização de Tsallis e que reduz a exponencial usual quando
, é
definida quando a base
é positiva (isto garante valores reais). Vamos explicar o que cada símbolo significa:
-
é o parâmetro da generalização (aqui dado com ); -
é a variável real; -
é a base da potência e deve ser para obter ; -
é o expoente.
Essa definição tem a propriedade importante de que, quando
, pelo limite conhecido
ou seja, recupera a exponencial usual.
Passo 3
Agora encontramos a condição de existência (domínio real) de
. Exigimos
Como estamos no caso
, é conveniente escrever
(onde
). Substituindo:
Rearranjando essa desigualdade obtemos
Portanto, quando
o domínio real da função é o intervalo
. Isso já mostra que existe um ponto limite à direita do domínio, que é finito:
Passo 4
Agora precisamos mostrar que a função diverge quando
tende a
pela esquerda (isto é,
). Para isso, examine a expressão da base próxima de
. Defina a pequena quantidade positiva
quando estamos aproximando
por valores menores. Então
Como
, tem-se
portanto
Passo 5
Usando a relação acima na expressão de
,
Lembrando que
, o expoente
é negativo:
Logo
Quando
(isto é,
), a quantidade
. Uma base que tende a zero elevada a um expoente negativo tende para
. Portanto
ou seja, a função diverge em
.
Passo 6
Resumo intuitivo e pequeno exemplo numérico (para fixar): com
temos
e
. A base
se anula em
. Para
aproximando
pela esquerda, a base é um número pequeno positivo e o expoente
é negativo, fazendo com que a potência exploda para
. Isso ilustra concretamente a divergência no ponto finito
.