Mostre que para {\tilde{q}}<0, a função exponencial generalizada e_{\tilde{q}}(x) diverge em x=x_{c}, onde x_{c} é finito. Mostre que x_{c}=1 /|\tilde{q}|;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas quando \tilde{q}<0: (a) que a função exponencial generalizada e_{\tilde{q}}(x) diverge em um ponto x=x_{c} finito; (b) que esse ponto é x_{c}=1/|\tilde{q}|. As informações dadas são apenas o parâmetro \tilde{q}<0 e a definição padrão da exponencial generalizada (que vou usar abaixo).

Passo 2

Primeiro vamos escrever claramente a definição da exponencial generalizada que usaremos. A forma comum, consistente com a generalização de Tsallis e que reduz a exponencial usual quando \tilde{q}\to0, é
e_{\tilde{q}}(x)=\bigl(1+\tilde{q}\,x\bigr)^{1/\tilde{q}},
definida quando a base 1+\tilde{q}x é positiva (isto garante valores reais). Vamos explicar o que cada símbolo significa:
  • \tilde{q} é o parâmetro da generalização (aqui dado com \tilde{q}<0);
  • x é a variável real;
  • 1+\tilde{q}x é a base da potência e deve ser >0 para obter e_{\tilde{q}}(x)\in\mathbb{R};
  • 1/\tilde{q} é o expoente.
Essa definição tem a propriedade importante de que, quando \tilde{q}\to0, pelo limite conhecido
\lim_{\tilde{q}\to0}\bigl(1+\tilde{q}\,x\bigr)^{1/\tilde{q}}=e^{x},
ou seja, recupera a exponencial usual.

Passo 3

Agora encontramos a condição de existência (domínio real) de e_{\tilde{q}}(x). Exigimos
1+\tilde{q}\,x>0.
Como estamos no caso \tilde{q}<0, é conveniente escrever \tilde{q}=-|\tilde{q}| (onde |\tilde{q}|>0). Substituindo:
1-\lvert\tilde{q}\rvert x>0.
Rearranjando essa desigualdade obtemos
x<\frac{1}{\lvert\tilde{q}\rvert}.
Portanto, quando \tilde{q}<0 o domínio real da função é o intervalo \left(-\infty,\dfrac{1}{\lvert\tilde{q}\rvert}\right). Isso já mostra que existe um ponto limite à direita do domínio, que é finito:
x_{c}=\frac{1}{\lvert\tilde{q}\rvert}.

Passo 4

Agora precisamos mostrar que a função diverge quando x tende a x_{c} pela esquerda (isto é, x\to x_{c}^{-}). Para isso, examine a expressão da base próxima de x_{c}. Defina a pequena quantidade positiva
\varepsilon = x_{c}-x>0,
quando estamos aproximando x_{c} por valores menores. Então
1+\tilde{q}\,x = 1 - \lvert\tilde{q}\rvert x = 1 - \lvert\tilde{q}\rvert\bigl(x_{c}-\varepsilon\bigr).
Como x_{c}=1/\lvert\tilde{q}\rvert, tem-se
\lvert\tilde{q}\rvert x_{c}=1,
portanto
1+\tilde{q}\,x = 1 - \lvert\tilde{q}\rvert x = 1 - \lvert\tilde{q}\rvert\bigl(x_{c}-\varepsilon\bigr)=1-1+\lvert\tilde{q}\rvert\varepsilon=\lvert\tilde{q}\rvert\varepsilon.

Passo 5

Usando a relação acima na expressão de e_{\tilde{q}}(x),
e_{\tilde{q}}(x)=\bigl(1+\tilde{q}\,x\bigr)^{1/\tilde{q}}=\bigl(\lvert\tilde{q}\rvert\varepsilon\bigr)^{1/\tilde{q}}.
Lembrando que \tilde{q}=-\lvert\tilde{q}\rvert, o expoente 1/\tilde{q} é negativo:
\frac{1}{\tilde{q}}=\frac{1}{-\,\lvert\tilde{q}\rvert}=-\frac{1}{\lvert\tilde{q}\rvert}.
Logo
e_{\tilde{q}}(x)=\bigl(\lvert\tilde{q}\rvert\varepsilon\bigr)^{-1/\lvert\tilde{q}\rvert}=\bigl(\lvert\tilde{q}\rvert\varepsilon\bigr)^{-\,1/\lvert\tilde{q}\rvert}.
Quando \varepsilon\to0^{+} (isto é, x\to x_{c}^{-}), a quantidade \lvert\tilde{q}\rvert\varepsilon\to0^{+}. Uma base que tende a zero elevada a um expoente negativo tende para +\infty. Portanto
\lim_{x\to x_{c}^{-}} e_{\tilde{q}}(x)=+\infty,
ou seja, a função diverge em x=x_{c}.

Passo 6

Resumo intuitivo e pequeno exemplo numérico (para fixar): com \tilde{q}=-0{,}5 temos \lvert\tilde{q}\rvert=0{,}5 e x_{c}=1/0{,}5=2. A base 1+\tilde{q}x=1-0{,}5x se anula em x=2. Para x aproximando 2 pela esquerda, a base é um número pequeno positivo e o expoente 1/\tilde{q}=-2 é negativo, fazendo com que a potência exploda para +\infty. Isso ilustra concretamente a divergência no ponto finito x_{c}.

Resposta

x_{c}=\dfrac{1}{\lvert\tilde{q}\rvert}

Exercícios relacionados