von Foerster, em 1960 [5] propôs o seguinte modelo:
onde
é a taxa de crescimento e
um parâmetro do modelo.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
onde
é uma taxa (constante) e
é um parâmetro (constante). Vou resolver essa equação para obter
— a solução geral — e também a solução particular com condição inicial
(é o caso que normalmente interessa em modelos populacionais). Essas são as perguntas que vou responder:
- Encontrar a solução geral
. - Escrever explicitamente a solução que satisfaz
. - Tratar separadamente os casos especiais que aparecem (por exemplo
e ) e discutir o comportamento qualitativo (cresce exponencialmente? explode em tempo finito?).
Passo 2
Método escolhido e por que: a equação é da forma
e depende só de
. Esse tipo é tratável por separação de variáveis, que é um método simples e direto — ideal para uma prova: separar
e
em lados distintos e integrar. Vou explicar o que é separação de variáveis: é escrever a equação como
depois integrar ambos os lados. No nosso caso
(constante) e
.
Passo 3
Separando variáveis explicitamente:
Explanação: passei
para o lado esquerdo invertendo o expoente, o que dá
. Agora integremos ambos os lados em termos de
e
.
Passo 4
Integração no caso
:
A primitiva de
em relação a
é
quando
, porque a derivada de
é
. Assim:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Impondo a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo de volta:
Tomando a potência
(ou seja, extraindo a raiz apropriada), obtemos a solução particular:
Explicação prática: essa fórmula diz que a potência
de
cresce linearmente no tempo.
Passo 6
Caso especial
(tratar à parte, porque a fórmula acima usou divisão por
): se
a equação original vira
que é a equação clássica de crescimento exponencial. Integramos dividindo por
:
Com
temos
, logo
Passo 7
Verificação de continuidade entre casos (consistência quando
). É bom saber que a fórmula do Passo 5 tende para a exponencial quando
. Esboço do limite:
Para pequeno
,
, então o logaritmo dentro é
e, dividindo por
e exponenciando, recuperamos
. Ou seja, continuidade garantida.
Passo 8
Caso
(checa rápida): se
a equação fica
, que integra para
. A fórmula geral do Passo 5 dá, com
,
portanto consistente.
Passo 9
Comportamento qualitativo (o que a solução nos diz — isto é útil em prova e interpretação física):
- Se
e : cresce linearmente com , logo cresce sem singularidade para todo . Para esse crescimento é mais lento que uma explosão instantânea; dependendo de pode ser subexponencial. - Se
e : a expressão pode chegar a zero para algum , onde No limite tem-se : ocorre uma explosão em tempo finito. Depois de a expressão dentro da potência ficaria negativa (solução real não continua). Portanto, para e a solução explode em tempo finito. - Se
: as direções invertem (decrescimento em vez de crescimento) e há análogos de extinção ou singularidades dependendo do sinal de . - Em provas é comum comentar esses cenários e, se pedirem, calcular
ou limite quando .
Passo 10
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (faça mentalmente na prova): suponha
,
,
. Então
Logo
— crescimento polinomial neste caso (não exponencial).