von Foerster, em 1960 [5] propôs o seguinte modelo:
\frac{d}{d t} N=r N^{1-\tilde{q}}
onde r é a taxa de crescimento e \tilde{q} um parâmetro do modelo.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d}{dt}N = r\,N^{1-\tilde{q}},
onde r é uma taxa (constante) e \tilde{q} é um parâmetro (constante). Vou resolver essa equação para obter N(t) — a solução geral — e também a solução particular com condição inicial N(0)=N_0 (é o caso que normalmente interessa em modelos populacionais). Essas são as perguntas que vou responder:
  • Encontrar a solução geral N(t).
  • Escrever explicitamente a solução que satisfaz N(0)=N_0.
  • Tratar separadamente os casos especiais que aparecem (por exemplo \tilde{q}=0 e \tilde{q}=1) e discutir o comportamento qualitativo (cresce exponencialmente? explode em tempo finito?).

Passo 2

Método escolhido e por que: a equação é da forma \dfrac{dN}{dt}=f(N) e depende só de N. Esse tipo é tratável por separação de variáveis, que é um método simples e direto — ideal para uma prova: separar N e t em lados distintos e integrar. Vou explicar o que é separação de variáveis: é escrever a equação como
g(N)\,dN = h(t)\,dt,
depois integrar ambos os lados. No nosso caso h(t)=r (constante) e g(N)=N^{-(1-\tilde{q})}=N^{\tilde{q}-1}.

Passo 3

Separando variáveis explicitamente:
\frac{dN}{dt} = r\, N^{1-\tilde{q}} \quad\Longrightarrow\quad N^{\tilde{q}-1}\,dN = r\,dt.
Explanação: passei N^{1-\tilde{q}} para o lado esquerdo invertendo o expoente, o que dá N^{-(1-\tilde{q})}=N^{\tilde{q}-1}. Agora integremos ambos os lados em termos de N e t.

Passo 4

Integração no caso \tilde{q}\neq 0:
\int N^{\tilde{q}-1}\,dN = \int r\,dt.
A primitiva de N^{\tilde{q}-1} em relação a N é \dfrac{1}{\tilde{q}}N^{\tilde{q}} quando \tilde{q}\neq 0, porque a derivada de N^{\tilde{q}} é \tilde{q}N^{\tilde{q}-1}. Assim:
\frac{1}{\tilde{q}}\,N^{\tilde{q}} = r t + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por \tilde{q} obtemos
N^{\tilde{q}} = \tilde{q}\,(r t + C).

Passo 5

Impondo a condição inicial N(0)=N_0 para encontrar C:
N_0^{\tilde{q}} = \tilde{q}\,(r\cdot 0 + C) = \tilde{q}\,C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{N_0^{\tilde{q}}}{\tilde{q}}.
Substituindo de volta:
N^{\tilde{q}} = N_0^{\tilde{q}} + \tilde{q}\,r\,t.
Tomando a potência 1/\tilde{q} (ou seja, extraindo a raiz apropriada), obtemos a solução particular:
\boxed{\,N(t)=\bigl(N_0^{\tilde{q}}+\tilde{q}\,r\,t\bigr)^{1/\tilde{q}},\qquad \tilde{q}\neq 0.\,}
Explicação prática: essa fórmula diz que a potência \tilde{q} de N cresce linearmente no tempo.

Passo 6

Caso especial \tilde{q}=0 (tratar à parte, porque a fórmula acima usou divisão por \tilde{q}): se \tilde{q}=0 a equação original vira
\frac{dN}{dt} = r\,N^{1-0} = r\,N,
que é a equação clássica de crescimento exponencial. Integramos dividindo por N:
\int \frac{1}{N}\,dN = \int r\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln N = r t + C.
Com N(0)=N_0 temos C=\ln N_0, logo
\boxed{\,N(t)=N_0 e^{r t},\qquad \tilde{q}=0.\,}

Passo 7

Verificação de continuidade entre casos (consistência quando \tilde{q}\to 0). É bom saber que a fórmula do Passo 5 tende para a exponencial quando \tilde{q}\to 0. Esboço do limite:
N(t)=\bigl(N_0^{\tilde{q}}+\tilde{q}\,r\,t\bigr)^{1/\tilde{q}} = \exp\!\left(\frac{1}{\tilde{q}}\ln\bigl(e^{\tilde{q}\ln N_0}+\tilde{q}r t\bigr)\right).
Para pequeno \tilde{q}, e^{\tilde{q}\ln N_0}=1+\tilde{q}\ln N_0+o(\tilde{q}), então o logaritmo dentro é \tilde{q}(\ln N_0+r t)+o(\tilde{q}) e, dividindo por \tilde{q} e exponenciando, recuperamos N_0 e^{r t}. Ou seja, continuidade garantida.

Passo 8

Caso \tilde{q}=1 (checa rápida): se \tilde{q}=1 a equação fica \dfrac{dN}{dt}=r\,N^{0}=r, que integra para N(t)=N_0 + r t. A fórmula geral do Passo 5 dá, com \tilde{q}=1,
N(t)=\bigl(N_0^{1}+1\cdot r t\bigr)^{1/1}=N_0 + r t,
portanto consistente.

Passo 9

Comportamento qualitativo (o que a solução nos diz — isto é útil em prova e interpretação física):
  • Se \tilde{q}>0 e r>0: N^{\tilde{q}} cresce linearmente com t, logo N(t) cresce sem singularidade para todo t\ge 0. Para \tilde{q}>0 esse crescimento é mais lento que uma explosão instantânea; dependendo de \tilde{q} pode ser subexponencial.
  • Se \tilde{q}<0 e r>0: a expressão N_0^{\tilde{q}}+\tilde{q}r t pode chegar a zero para algum t=t_*>0, onde t_* = -\frac{N_0^{\tilde{q}}}{\tilde{q}\,r}\quad(\text{observe que }\tilde{q}<0\Rightarrow t_*>0).No limite t\to t_*^{-} tem-se N(t)\to +\infty: ocorre uma explosão em tempo finito. Depois de t_* a expressão dentro da potência ficaria negativa (solução real não continua). Portanto, para \tilde{q}<0 e r>0 a solução explode em tempo finito.
  • Se r<0: as direções invertem (decrescimento em vez de crescimento) e há análogos de extinção ou singularidades dependendo do sinal de \tilde{q}.
  • Em provas é comum comentar esses cenários e, se pedirem, calcular t_* ou limite quando t\to\infty.

Passo 10

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (faça mentalmente na prova): suponha N_0=1, r=2, \tilde{q}=0,5. Então
N(t)=\bigl(1^{0,5}+0,5\cdot 2\cdot t\bigr)^{1/0,5} = \bigl(1+ t\bigr)^{2}.
Logo N(t)=(1+t)^2 — crescimento polinomial neste caso (não exponencial).

Resposta

\displaystyle N(t)=\bigl(N_0^{\tilde{q}}+\tilde{q}\,r\,t\bigr)^{1/\tilde{q}},\quad \tilde{q}\neq 0.
\displaystyle N(t)=N_0 e^{r t},\quad \tilde{q}=0.

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