Usar integração de contorno para verificar cada uma das seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2 a x d x=e^{-a^{2}} \sqrt{\pi}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, via integração de contorno, que
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\cos(2ax)\,dx = e^{-a^{2}}\sqrt{\pi}.
O conteúdo é o uso de análise complexa: vamos considerar a transformada de Fourier de uma gaussiana e aplicar o teorema de Cauchy num contorno em forma de retângulo.

Passo 2

Definimos a integral complexa
I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,e^{i2ax}\,dx.
Note que o integrando e^{-z^{2}}e^{i2az} é uma função inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}). A integral real pedida é a parte real de I:
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\cos(2ax)\,dx = \Re(I).

Passo 3

Considere o contorno retangular C_R de vértices -R, R, R+ia, -R+ia descrito no sentido anti-horário. Pelo teorema de Cauchy,
\oint_{C_R} e^{-z^{2}}e^{i2az}\,dz = 0.
Esse contorno é a soma de quatro integrais: duas horizontais (em \Im z=0 e em \Im z=a) e duas verticais (em \Re z=\pm R).

Passo 4

Mostramos que as contribuições das arestas verticais tendem a zero quando R\to\infty. Por exemplo em z=R+it, 0\le t\le a,
\bigl|e^{-z^{2}}e^{i2az}\bigr| = e^{-\Re(z^{2})}\,e^{-2a\,t} = e^{-(R^{2}-t^{2})}\,e^{-2at} \le e^{-R^{2}+a^{2}},
e como o comprimento é a, a estimativa mostra que essa parte \to0. Análogo para z=-R+it.

Passo 5

Na aresta inferior \Im z=0 temos exatamente
\int_{-R}^{R}e^{-x^{2}}e^{i2ax}\,dx \;\xrightarrow{R\to\infty}\; I.
Na aresta superior \Im z=a faça z=x+ia, x de R a -R. Então
e^{-z^{2}}e^{i2az} = e^{-(x+ia)^{2}}\,e^{i2a(x+ia)} = e^{-x^{2}-2iax + a^{2}}\,e^{i2ax -2a^{2}} = e^{-x^{2}-a^{2}}.
O diferencial dz=dx e a orientação é de R a -R, daí
\int_{R+ia}^{-R+ia} e^{-z^{2}}e^{i2az}\,dz = -\int_{-R}^{R} e^{-x^{2}-a^{2}}\,dx = -e^{-a^{2}}\int_{-R}^{R}e^{-x^{2}}\,dx \xrightarrow{R\to\infty} -e^{-a^{2}}\sqrt{\pi}.

Passo 6

Somando as quatro integrais em C_R e tomando R\to\infty, dá
I + 0 + \bigl(-e^{-a^{2}}\sqrt{\pi}\bigr) + 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad I = \sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}}.
Finalmente a parte real de I é exatamente a integral com \cos:
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\cos(2ax)\,dx = \Re(I) = \sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}}.

Resposta

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\cos(2ax)\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-a^{2}}

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