Mostre que a solução do problema y^prime prime+2 y^prime=0, y(0)=a, y^prime(0)=b tende para uma constante quando t +infty. Determine esta constante.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' = 0, y(0)=a, y'(0)=b,
mostrar que y(t) tende a uma constante quando tto+infty e determinar essa constante. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a
r^2 + 2r = 0,
cuja solução é dada por
r(r + 2)=0 Longrightarrow r1 = 0,;r2 = -2

Passo 3

Como os dois raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 + C2 e^-2t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = -2,C2,e^-2t
Em t=0 temos
y(0) = C1 + C2 = a, y'(0) = -2,C2 = b
Da segunda igualdade segue
C2 = -b2,
e então da primeira
C1 = a - C2 = a + b2

Passo 5

Como e^-2tto0 quando tto+infty, o termo C2 e^-2t desaparece e
limtto+infty y(t) = C1 = a + b2

Resposta

A solução tende à constante
a + b2

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