Mostre que a solução do problema
tende para uma constante quando
. Determine esta constante.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
mostrar que
tende a uma constante quando
e determinar essa constante. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada a
cuja solução é dada por
Passo 3
Como os dois raízes são distintas, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Em
temos
Da segunda igualdade segue
e então da primeira
Passo 5
Como
quando
, o termo
desaparece e
Resposta
A solução tende à constante