Utilizando os teoremas apresentados em sala, encontre pelo menos uma solução para os seguintes sistemas de congruências lineares:
(a)
(b) lx equiv 2(bmod 3) x equiv 7(bmod 5) x equiv 5(bmod 11)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro sistema de congruências que você enviou. O enunciado pede para encontrarmos pelo menos uma solução para:
7x + 3y equiv 6 (mod 11) 4x + 2y equiv 9 (mod 11)
Vamos usar conceitos de congruências lineares e métodos de resolução de sistemas para encontrar os valores de x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar. Olhando para a segunda equação:
4x + 2y equiv 9 (mod 11)
Podemos dividir todos os termos por 2, mas precisamos do inverso multiplicativo de 2 módulo 11. O inverso de 2 módulo 11 é 6, porque 2 times 6 = 12 equiv 1 (mod 11). Então, multiplicamos toda a equação por 6:
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Vamos isolar y:
y equiv 10 - 2x (mod 11)
Passo 4
Vamos substituir essa expressão de y na primeira equação do sistema:
7x + 3y equiv 6 (mod 11)
Substituindo y:
7x + 3(10 - 2x) equiv 6 (mod 11)
7x + 30 - 6x equiv 6 (mod 11)
x + 30 equiv 6 (mod 11)
Passo 5
Simplificando 30 módulo 11:
30 equiv 30 - 22 = 8 (mod 11)
Então:
x + 8 equiv 6 (mod 11)
x equiv 6 - 8 (mod 11)
x equiv -2 (mod 11)
Como -2 equiv 9 (mod 11), temos:
x equiv 9 (mod 11)
Passo 6
Agora que temos x, vamos encontrar y usando a expressão que isolamos antes:
y equiv 10 - 2x (mod 11)
y equiv 10 - 2 times 9 (mod 11)
y equiv 10 - 18 (mod 11)
y equiv -8 (mod 11)
Como -8 equiv 3 (mod 11), temos:
y equiv 3 (mod 11)
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo sistema de congruências:
x equiv 2 (mod 3) x equiv 7 (mod 5) x equiv 5 (mod 11)
Aqui, vamos usar o Teorema Chinês do Resto, que ajuda a encontrar um número que satisfaça múltiplas congruências quando os módulos são coprimos entre si.
Passo 8
Primeiro, observamos que os módulos 3, 5 e 11 são todos primos entre si, ou seja, não têm fatores comuns além de 1. Isso é importante para aplicar o Teorema Chinês do Resto corretamente.
Passo 9
Vamos começar combinando as duas primeiras congruências:
x equiv 2 (mod 3) x equiv 7 (mod 5)
Queremos encontrar um número que satisfaça ambas. Vamos expressar x da primeira congruência:
x = 3k + 2
Onde k é um inteiro.
Passo 10
Agora, substituímos x na segunda congruência:
3k + 2 equiv 7 (mod 5)
3k equiv 7 - 2 (mod 5)
3k equiv 5 (mod 5)
3k equiv 0 (mod 5)
Passo 11
Para resolver 3k equiv 0 (mod 5), precisamos encontrar o valor de k que faz isso. Como 3 e 5 são coprimos, multiplicamos ambos os lados pela inversa de 3 módulo 5, que é 2 (porque 3 times 2 = 6 equiv 1 (mod 5)):
2 times 3k equiv 2 times 0 (mod 5)
6k equiv 0 (mod 5)
k equiv 0 (mod 5)
Então, k = 5m, onde m é um inteiro.
Passo 12
Substituindo k na expressão de x:
x = 3k + 2 = 3(5m) + 2 = 15m + 2
Então, temos:
x equiv 2 (mod 15)
Passo 13
Agora, combinamos essa congruência com a terceira do sistema original:
x equiv 2 (mod 15) x equiv 5 (mod 11)
Vamos expressar x da primeira congruência:
x = 15n + 2
Onde n é um inteiro.
Passo 14
Substituímos x na segunda congruência:
15n + 2 equiv 5 (mod 11)
15n equiv 5 - 2 (mod 11)
15n equiv 3 (mod 11)
Como 15 equiv 4 (mod 11), simplificamos:
4n equiv 3 (mod 11)
Passo 15
Para resolver 4n equiv 3 (mod 11), encontramos o inverso de 4 módulo 11, que é 3 (porque 4 times 3 = 12 equiv 1 (mod 11)):