Sejam a, b, c in Z e n in N backslash0. Responda:
Se a b equiv b c(bmod n), é possível concluir que a equiv b(bmod n)? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se, dado que a cdot b equiv b cdot c pmodn , podemos concluir que a equiv b pmodn . Isso envolve aritmética modular, especialmente a propriedade de cancelar termos em congruências. Vamos precisar entender quando podemos simplificar uma congruência dividindo ambos os lados por um número, e quais condições precisam estar presentes para isso funcionar.

Passo 2

Primeiro, temos a congruência dada:
a cdot b equiv b cdot c pmodn
Isso significa que a diferença entre a cdot b e b cdot c é um múltiplo de n , ou seja:
a cdot b - b cdot c = b(a - c) equiv 0 pmodn

Passo 3

Para simplificar essa expressão e chegar a a equiv c pmodn , a gente tentaria “cancelar” o b dos dois lados da congruência. Matemática falando, isso seria dividir ambos os lados por b . Mas temos que ter cuidado: nem sempre podemos cancelar um termo em aritmética modular.

Passo 4

A razão é que, para cancelar o b , ele precisa ter uma propriedade especial chamada inverso multiplicativo módulo n . Isso quer dizer que existe algum número b^-1 tal que:
b cdot b^-1 equiv 1 pmodn
Essa propriedade só existe se b e n forem coprimos (ou seja, o único divisor comum entre eles é 1).

Passo 5

Se b tem um inverso multiplicativo módulo n , então podemos multiplicar ambos os lados da congruência b(a - c) equiv 0 pmodn por b^-1 e obter:
(a - c) equiv 0 pmodn Rightarrow a equiv c pmodn
Mas atenção! Isso só vale se b for invertível módulo n . Se b não for invertível, ou seja, se b e n tiverem um divisor comum maior que 1, não podemos garantir que a equiv c pmodn .

Passo 6

Então, voltando ao enunciado original, a pergunta é se a cdot b equiv b cdot c pmodn implica a equiv b pmodn . Pelo que vimos:
  • Se b for invertível módulo n , podemos sim concluir que a equiv c pmodn .
  • Mas o enunciado pergunta se a equiv b pmodn , o que parece ser um erro, já que naturalmente seguiria a equiv c .
Mesmo assim, assumindo que a intenção era perguntar sobre a equiv c pmodn :

Resposta

Não, não é possível concluir que a equiv b pmodn apenas com a informação de que a cdot b equiv b cdot c pmodn . A conclusão a equiv c pmodn só seria válida se b for invertível módulo n . Sem essa condição, a congruência inicial não garante que a e c (ou b , conforme o enunciado) sejam congruentes.

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