Sejam
. Responda:
Se
, é possível concluir que
? Justifique sua resposta.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se, dado que
, podemos concluir que
. Isso envolve aritmética modular, especialmente a propriedade de cancelar termos em congruências. Vamos precisar entender quando podemos simplificar uma congruência dividindo ambos os lados por um número, e quais condições precisam estar presentes para isso funcionar.
Passo 2
Primeiro, temos a congruência dada:
Isso significa que a diferença entre
e
é um múltiplo de
, ou seja:
Passo 3
Para simplificar essa expressão e chegar a
, a gente tentaria “cancelar” o
dos dois lados da congruência. Matemática falando, isso seria dividir ambos os lados por
. Mas temos que ter cuidado: nem sempre podemos cancelar um termo em aritmética modular.
Passo 4
A razão é que, para cancelar o
, ele precisa ter uma propriedade especial chamada inverso multiplicativo módulo
. Isso quer dizer que existe algum número
tal que:
Essa propriedade só existe se
e
forem coprimos (ou seja, o único divisor comum entre eles é 1).
Passo 5
Se
tem um inverso multiplicativo módulo
, então podemos multiplicar ambos os lados da congruência
por
e obter:
Mas atenção! Isso só vale se
for invertível módulo
. Se
não for invertível, ou seja, se
e
tiverem um divisor comum maior que 1, não podemos garantir que
.
Passo 6
Então, voltando ao enunciado original, a pergunta é se
implica
. Pelo que vimos:
- Se
for invertível módulo , podemos sim concluir que . - Mas o enunciado pergunta se
, o que parece ser um erro, já que naturalmente seguiria .
Mesmo assim, assumindo que a intenção era perguntar sobre
:
Resposta
Não, não é possível concluir que
apenas com a informação de que
. A conclusão
só seria válida se
for invertível módulo
. Sem essa condição, a congruência inicial não garante que
e
(ou
, conforme o enunciado) sejam congruentes.