{ }^{\text {a }} Quest3o, Considere o ponto P=(1,2,3) e a reta r dada por:
\vec{r}(t)=(2,-1,1)+t(1,0,-2)
(1) Encontre a equação vetorial do plano que contém o ponto P e é paralelo à reta r c ao vetor \vec{v}=(0,1,1).
(2) Determine a equação da reta de interseção entre esse plano e o plano x+y+z=6.

Passo 1

O enunciado pede dois itens. Primeiro, achar a equação vetorial do plano que passa por P=(1,2,3) e é paralelo à reta
\vec r(t)=(2,-1,1)+t(1,0,-2)
e ao vetor \vec v=(0,1,1). Isso envolve parametrizar um plano a partir de um ponto e dois vetores diretores. Em seguida, determinar a reta de interseção entre esse plano e o plano dado por
x+y+z=6.

Passo 2

O plano desejado contém P e é paralelo aos vetores
d_1=(1,0,-2),\quad d_2=(0,1,1).
Logo sua equação vetorial é
\vec R(u,v)=P+u\,d_1+v\,d_2,
ou seja
\vec R(u,v)=(1,2,3)+u\,(1,0,-2)+v\,(0,1,1).

Passo 3

Para achar a reta de interseção, é útil ter a forma escalar do plano. Calculamos o normal
\vec n=d_1\times d_2 =(1,0,-2)\times(0,1,1) =(2,-1,1).
A equação escalar é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-(1,2,3)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2(x-1)-1(y-2)+1(z-3)=0,
de onde se obtém
2x-y+z=3.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema das duas equações de plano:
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x + y + z = 6. \end{cases}
Da primeira vem x=2y-3. Substituindo na segunda:
(2y-3)+y+z=6 \quad\Longrightarrow\quad z=9-3y.
Fazendo y=t como parâmetro, obtemos
x=2t-3,\quad y=t,\quad z=9-3t.
Logo a reta de interseção é
\vec r(t)=(-3,0,9)+t\,(2,1,-3).

Resposta

(1) \displaystyle \vec R(u,v)=(1,2,3)+u\,(1,0,-2)+v\,(0,1,1).
(2) \displaystyle \vec r(t)=(-3,0,9)+t\,(2,1,-3).

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