Mostre que as soluções do sistema
l a x+b y+c z=0 a^prime x+b^prime y+c^prime z=0
são os ternos (x, y, z) onde:
l x=(b c^prime-c b^prime) t, y=(c a^prime-a c^prime) t,

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em três incógnitas
a x + b y + c z = 0, a' x + b' y + c' z = 0,
e pede a descrição de todas as soluções (x,y,z). O conteúdo aqui é que duas equações lineares independentes em três incógnitas definem um subespaço de dimensão 1 (uma reta) no R^3. Para caracterizar essa reta, podemos usar o fato de que o vetor (x,y,z) deve ser ortogonal aos vetores normais
n = (a,b,c), n'=(a',b',c'),
ou seja, deve satisfazer ncdot(x,y,z)=0 e n'cdot(x,y,z)=0.

Passo 2

Um vetor não-nulo que seja perpendicular simultaneamente a n e n' é dado pelo produto vetorial
ntimes n' = l(bc' - cb',;ca' - ac',;ab' - ba'r)
Portanto qualquer solução (x,y,z) deve ser múltipla escalar desse vetor, ou seja
(x,y,z) = t,(bc' - cb',;ca' - ac',;ab' - ba')para algum tinR

Passo 3

Escrevendo em coordenadas, concluímos que todas as soluções são exatamente os ternos
x = l(bc' - cb'r),t, y = l(ca' - ac'r),t, z = l(ab' - ba'r),t,
com t parâmetro livre, e não há outra forma de satisfazer as duas equações a não ser escolhendo (x,y,z) nessa reta.

Resposta

(x,y,z) = l(bc' - cb',;ca' - ac',;ab' - ba'r),t, tinR

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