Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( )Se A, B in Mn(R) são tais que A cdot B=0 (matriz nula), então A=0 ou B=0.

Passo 1

Neste exercício estamos em Mn(R) e queremos ver se a afirmação “se A,B=0 então A=0 ou B=0” é válida para matrizes. O conteúdo usado será a ideia de divisores de zero em anéis não comutativos, neste caso o anel das matrizes.

Passo 2

Lembrando que nos números reais (um domínio integral) vale que ab=0 implica a=0 ou b=0, mas em anéis mais gerais (como o das matrizes), podem existir elementos não nulos cujo produto é zero. Esses elementos são chamados de divisores de zero.

Passo 3

Para demonstrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo em M2(R). Considere
A = 1 & 0[6pt] 0 & 0, B = 0 & 0[6pt] 1 & 0
Nenhuma das matrizes é a nula, pois
,Aneq 0 e Bneq 0, mas o produto é
A,B = 1 & 0[3pt] 0 & 0 0 & 0[3pt] 1 & 0 = 1cdot 0 + 0cdot 1 & 1cdot 0 + 0cdot 0[6pt] 0cdot 0 + 0cdot 1 & 0cdot 0 + 0cdot 0 = 0 & 0[3pt] 0 & 0 ]

Passo 4

Como encontramos Aneq 0 e Bneq 0 tais que A,B=0, a afirmação inicial é falsa.

Resposta

Falsa.

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