Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( )Se
são tais que
(matriz nula), então
ou
.
( )Se
Passo 1
Neste exercício estamos em
e queremos ver se a afirmação “se
então
ou
” é válida para matrizes. O conteúdo usado será a ideia de divisores de zero em anéis não comutativos, neste caso o anel das matrizes.
Passo 2
Lembrando que nos números reais (um domínio integral) vale que
implica
ou
, mas em anéis mais gerais (como o das matrizes), podem existir elementos não nulos cujo produto é zero. Esses elementos são chamados de divisores de zero.
Passo 3
Para demonstrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo em
. Considere
Nenhuma das matrizes é a nula, pois
e
, mas o produto é
Passo 4
Como encontramos
e
tais que
, a afirmação inicial é falsa.
Resposta
Falsa.