Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( )A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
( )A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é novamente simétrica. Para isso, vamos usar o conceito de matriz simétrica e a propriedade da transposição relativa à soma de matrizes.
Passo 2
Por definição, uma matriz
é simétrica se e somente se
.
Como e
são simétricas, vale
Como
e
Pela propriedade da transposição, temos
Logo,
, o que mostra que
é simétrica.
Passo 3
Da demonstração acima concluímos que a soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
Resposta
Verdadeira.