Questão 2: (2,5 pontos) Num triângulio , sejam , os pontos médios dos lados e , respectivamente. Mostre que
Passo 1
Então, meu amigo, o exercício fala de um triângulo ABC em que M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Embora o enunciado tenha escrito “CN” na soma, o correto para formar as três medianas é usar CM (a mediana que sai de C até M). Resumindo, queremos mostrar que
AN+BP+CM=0
O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar vetores posição, soma e subtração de vetores e a fórmula do ponto médio.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um ponto O qualquer como origem do nosso sistema de vetores e escrevemos cada vértice X como
X=OX
Lembre que, em geometria vetorial, o vetor que vai de X a Y é
XY=OY-OX=Y-X,
e que somar vetores é só somar suas “partes” correspondentes.
Passo 3
Para um ponto M ser ponto médio de AB, a posição de M é a média das posições de A e B. Ou seja,
M=OM=OA+OB2=A+B2
Do mesmo jeitinho,
N=B+C2, P=A+C2
Passo 4
Agora expressamos cada mediana como diferença de vetores:
AN=N-A =B+C2-A =B+C-2,A2,
BP=P-B =A+C2-B =A+C-2,B2,
CM=M-C =A+B2-C =A+B-2,C2
Aqui usamos a definição XY=Y-X e a fórmula do ponto médio.