Questão 2: (2,5 pontos) Num triângulio A B C, sejam M, N, P, os pontos médios dos lados A B, B C e A C, respectivamente. Mostre que
A N+B P+C N=0

Passo 1

Então, meu amigo, o exercício fala de um triângulo ABC em que M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Embora o enunciado tenha escrito “CN” na soma, o correto para formar as três medianas é usar CM (a mediana que sai de C até M). Resumindo, queremos mostrar que
AN+BP+CM=0
O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar vetores posição, soma e subtração de vetores e a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto O qualquer como origem do nosso sistema de vetores e escrevemos cada vértice X como
X=OX
Lembre que, em geometria vetorial, o vetor que vai de X a Y é
XY=OY-OX=Y-X,
e que somar vetores é só somar suas “partes” correspondentes.

Passo 3

Para um ponto M ser ponto médio de AB, a posição de M é a média das posições de A e B. Ou seja,
M=OM=OA+OB2=A+B2
Do mesmo jeitinho,
N=B+C2, P=A+C2

Passo 4

Agora expressamos cada mediana como diferença de vetores:
AN=N-A =B+C2-A =B+C-2,A2,
BP=P-B =A+C2-B =A+C-2,B2,
CM=M-C =A+B2-C =A+B-2,C2
Aqui usamos a definição XY=Y-X e a fórmula do ponto médio.

Passo 5

Somando as três expressões:
AN+BP+CM =B+C-2A2 +A+C-2B2 +A+B-2C2
Juntando tudo sobre 2 e agrupando coeficientes:
  • Em A: -2+1+1=0,
  • Em B: 1-2+1=0,
  • Em C: 1+1-2=0.
Logo a soma é tfrac02=0.

Resposta

boxedAN+BP+CM=0

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