Mostre que as soluções do sistema
r a x+b y+c z=0 a^prime x+b^prime y+c^prime z=0
são os ternos (x, y, z) onde:
l x=(b c^prime-c b^prime) t y=(c a^prime-a c^prime) t z=(a b^prime-b a^prime) t
seja:
a) indet
b) impo

Passo 1

Temos um sistema lineares homogêneo com duas equações e três incógnitas:
a x + b y + c z = 0, a' x + b' y + c' z = 0
O conteúdo que vamos usar é o de espaços vetoriais e produto vetorial: em R^3, a interseção de dois planos que passam pela origem é uma reta, cuja direção é dada pelo produto vetorial dos vetores normais a esses planos.

Passo 2

Denote pelos vetores normais
n = (a,b,c), n' = (a',b',c')
Então toda solução (x,y,z) do sistema deve satisfazer
(x,y,z)perp n e (x,y,z)perp n'
Logo (x,y,z) é paralelo a ntimes n'. Calculamos
ntimes n' = l(b,c' - c,b',; c,a' - a,c',; a,b' - b,a'r)
Chamando este vetor de d, qualquer solução é da forma (x,y,z)=t,d, com tinR.

Passo 3

Escrevendo em coordenadas, obtemos o parâmetro t e as fórmulas
x = (b,c' - c,b'),t, y = (c,a' - a,c'),t, z = (a,b' - b,a'),t,
que são exatamente todas as soluções do sistema.

Passo 4

Como o sistema é homogêneo de posto no máximo 2 em 3 incógnitas, ele nunca é impossível (sempre admite a solução trivial) e é indeterminado (há infinitas soluções, uma reta passando pela origem, salvo o caso degenerado em que n é colinear a n', quando a reta ainda existe mas coincide com o próprio plano).

Resposta

a) indet.
b) impo. (não ocorre, pois o sistema homogêneo é sempre compatível)

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