Mostre que as soluções do sistema
são os ternos
onde:
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o sistema homogêneo com duas equações em três incógnitas: as equações são
e
. O que queremos é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem essas duas condições. Para isso vamos usar conceitos de sistemas lineares homogêneos em
e o produto vetorial.
Passo 2
Cada equação pode ser vista como produto escalar:
e
. Logo os vetores solução são exatamente aqueles ortogonais a ambos
e
. Em
, o subespaço ortogonal a dois vetores independentes tem dimensão 1, isto é, é uma reta passando pela origem. Essa reta é gerada pelo produto vetorial
.
Passo 3
Vamos então calcular o produto vetorial. Em bloco,
Passo 4
Passo 5
Como a solução geral é um múltiplo escalar desse vetor, concluímos que
Passo 6
Passo 7
para algum parâmetro
. Só para confirmar, podemos verificar que esse vetor realmente satisfaz ambas as equações fazendo o produto escalar com
e com
, e em cada caso a soma dos termos se anula.
Passo 8
Por fim, como o posto do sistema homogêneo (duas equações independentes em três incógnitas) é 2, o espaço solução tem dimensão 1 e está completamente descrito pela reta gerada acima. Dessa forma, encontramos todas as soluções sem deixar de lado nenhum caso.
Resposta
Os ternos
que resolvem o sistema são exatamente
com
.