Mostre que as soluções do sistema
l a x+b y+c z=0 a^prime x+b^prime y+c^prime z=0
são os ternos (x, y, z) onde:
l x=(b c^prime-c b^prime) t y=(c a^prime-a c^prime) t z=(a b^prime-b a^prime) t

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema homogêneo com duas equações em três incógnitas: as equações são a x + b y + c z = 0 e a' x + b' y + c' z = 0. O que queremos é o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que satisfazem essas duas condições. Para isso vamos usar conceitos de sistemas lineares homogêneos em R^3 e o produto vetorial.

Passo 2

Cada equação pode ser vista como produto escalar: (a,b,c)cdot(x,y,z)=0 e (a',b',c')cdot(x,y,z)=0. Logo os vetores solução são exatamente aqueles ortogonais a ambos (a,b,c) e (a',b',c'). Em R^3, o subespaço ortogonal a dois vetores independentes tem dimensão 1, isto é, é uma reta passando pela origem. Essa reta é gerada pelo produto vetorial (a,b,c)times(a',b',c').

Passo 3

Vamos então calcular o produto vetorial. Em bloco,

Passo 4

(a,b,c)times(a',b',c') = l(b c' - c b',;c a' - a c',;a b' - b a'r)

Passo 5

Como a solução geral é um múltiplo escalar desse vetor, concluímos que

Passo 6

(x,y,z) = t,l(b c' - c b',;c a' - a c',;a b' - b a'r),

Passo 7

para algum parâmetro tin R. Só para confirmar, podemos verificar que esse vetor realmente satisfaz ambas as equações fazendo o produto escalar com (a,b,c) e com (a',b',c'), e em cada caso a soma dos termos se anula.

Passo 8

Por fim, como o posto do sistema homogêneo (duas equações independentes em três incógnitas) é 2, o espaço solução tem dimensão 1 e está completamente descrito pela reta gerada acima. Dessa forma, encontramos todas as soluções sem deixar de lado nenhum caso.

Resposta

Os ternos (x,y,z) que resolvem o sistema são exatamente
x=(b c'-c b'),t, y=(c a'-a c'),t, z=(a b'-b a'),t,
com tin R.

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