Mostre que a soma de vetores cujos representantes formam um polígono fechado é nula.
5. Dado v um vetor não nulo. Prove que v|v| é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que v.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, queremos mostrar que se temos vetores vec v1,dots,vec vn cujos representantes formam, lado a lado, um polígono que começa e termina no mesmo ponto, então
sumi=1^nvec vi = vec 0
Segundo, dado um vetor não nulo vec v, devemos provar que
vec v|vec v|
é um vetor unitário (norma igual a 1) e que mantém a mesma direção e o mesmo sentido de vec v. Para isso vamos usar propriedades básicas de soma de vetores e da norma escalar.

Passo 2

Suponha que o polígono fechado tenha vértices A0,A1,dots,An com An=A0. Seja
vec vi = Ai-1Ai(i=1,2,dots,n)
Escolha um ponto de referência O e escreva o vetor posição de cada vértice como OAi = vec ri. Então
vec vi = Ai-1Ai = OAi - OAi-1 = vec ri - vec ri-1
Somando de i=1 até n temos
sumi=1^nvec vi = sumi=1^n(vec ri-vec ri-1) = (vec r1-vec r0) + (vec r2-vec r1) + cdots + (vec rn-vec rn-1)
Observe o cancelamento telescópico: tudo se anula, restando
sumi=1^nvec vi = vec rn - vec r0
Como An=A0, vec rn=vec r0, logo
sumi=1^nvec vi = vec 0

Passo 3

Agora, pegue um vetor não nulo vec v e considere o escalar
lambda = 1|vec v|
Pela propriedade da norma,
l|lambda,vec vr| = |lambda|;|vec v| = 1|vec v|,|vec v| = 1
Como lambda>0, ao multiplicar vec v por lambda não mudamos a direção nem o sentido de vec v. Portanto
vec v|vec v|
é um vetor de norma 1 e com a mesma direção e o mesmo sentido de vec v.

Resposta

Para vetores que formam um polígono fechado, a soma é vec 0.
E para todo vec vneqvec 0, o vetor vec v|vec v| tem norma igual a 1 e mantém a mesma direção e sentido de vec v.

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