Mostre que a soma de vetores cujos representantes formam um polígono fechado é nula.
5. Dado um vetor não nulo. Prove que é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, queremos mostrar que se temos vetores cujos representantes formam, lado a lado, um polígono que começa e termina no mesmo ponto, então
Segundo, dado um vetor não nulo , devemos provar que
é um vetor unitário (norma igual a ) e que mantém a mesma direção e o mesmo sentido de . Para isso vamos usar propriedades básicas de soma de vetores e da norma escalar.
Passo 2
Suponha que o polígono fechado tenha vértices com . Seja
Escolha um ponto de referência O e escreva o vetor posição de cada vértice como OAi = vec ri. Então
Como lambda>0, ao multiplicar vec v por lambda não mudamos a direção nem o sentido de vec v. Portanto
vec v|vec v|
é um vetor de norma 1 e com a mesma direção e o mesmo sentido de vec v.
Resposta
Para vetores que formam um polígono fechado, a soma é vec 0.
E para todo vec vneqvec 0, o vetor vec v|vec v| tem norma igual a 1 e mantém a mesma direção e sentido de vec v.