Questão 03. (2,0) Verifique a dependência linear (L.D. ou L.I.), usando a definição, do conjunto x^3-x^2+x, 3 x^3+4 x-2,3 x^2+x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, pela definição, se o conjunto de polinômios
p1,p2,p3=x^3-x^2+x,;3x^3+4x-2,;3x^2+x
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.) no espaço vetorial P3. Para isso, vamos propor uma combinação linear genérica e exigir que ela seja o polinômio zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=0,
isto é,
a,(x^3-x^2+x)+b,(3x^3+4x-2)+c,(3x^2+x)=0(polinômio zero) ô
Expandindo e agrupando termos semelhantes em potências de x, obtemos
(a+3b),x^3+(-a+3c),x^2+(a+4b+c),x+(-2b)=0

Passo 3

Para que esse polinômio seja o zero, cada coeficiente deve ser zero. Logo formamos o sistema
a+3b=0, -a+3c=0, a+4b+c=0, -2b=0
Da última equação vem b=0. Substituindo em a+3b=0 a=0. Em seguida, de -a+3c=0 obtemos c=0. Logo a única solução é a=b=c=0.

Passo 4

Como a única solução da combinação linear é a trivial ,(a,b,c)=(0,0,0), concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (L.I.).

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