Questão 03. (2,0) Verifique a dependência linear (L.D. ou L.I.), usando a definição, do conjunto .
Passo 1
O enunciado pede para verificar, pela definição, se o conjunto de polinômios
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.) no espaço vetorial . Para isso, vamos propor uma combinação linear genérica e exigir que ela seja o polinômio zero.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica
isto é,
Expandindo e agrupando termos semelhantes em potências de , obtemos
Passo 3
Para que esse polinômio seja o zero, cada coeficiente deve ser zero. Logo formamos o sistema
Da última equação vem b=0. Substituindo em a+3b=0 dá a=0. Em seguida, de -a+3c=0 obtemos c=0. Logo a única solução é a=b=c=0.
Passo 4
Como a única solução da combinação linear é a trivial ,(a,b,c)=(0,0,0), concluímos que o conjunto é linearmente independente.